Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 6

Dans le plan complexe muni du repère (O,I,J), on considère le point A d'affixe 1.
Soit $f$ l'application qui, à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe $f(z)={1+z}/{1-z}$.

1.Posons $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
Ecrire $f(z)$ sous forme algébrique.

2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit réel.

3. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

4. Quelles distances représentent $|1-z|$ et $|1+z|$?
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|f(z)|=1$

5. Soit $k$ un réel strictement positif différent de 1.
Démontrer que l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|f(z)|=k$ est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.


Solution...
Corrigé

1.Posons $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
$f(z)={1+z}/{1-z}={1+x+iy}/{1-x-iy}$
Nous utilisons le conjugué du dénominateur pour le rendre réel.
$f(z)={(1+x+iy)(1-x+iy)}/{(1-x-iy)(1-x+iy)}={(1-x^2-y^2)+2yi}/{(1-x)^2+y^2}$
Soit: $f(z)={1-x^2-y^2}/{(1-x)^2+y^2}+{2y}/{(1-x)^2+y^2}i$
C'est la forme algébrique de $f(z)$.
$\Re(f(z))={1-x^2-y^2}/{(1-x)^2+y^2}$
$\Im(f(z))={2y}/{(1-x)^2+y^2}$


2. $f(z)$ est réel si et seulement si $\Im(f(z))=0$.
Or: $\Im(f(z))=0⇔2y=0⇔y=0$.
Donc $f(z)$ est réel si et seulement si $z=x$ avec $x$ réel.
Mais on se rappelle que $z$ est différent de 1.
Donc l'ensemble cherché est la droite (OI) privée du point A.


3. Petit rappel de première:
le cercle de centre $C (a;b)$ et de rayon $r$ admet pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

$f(z)$ est imaginaire pur si et seulement si $\Re(f(z))=0$.
Or: $\Re(f(z))=0⇔1-x^2-y^2=0⇔x^2+y^2=1$.
Donc l'ensemble cherché est le cercle de centre O et de rayon 1.
Ce cercle est privé du point A car on se rappelle que $z$ est différent de 1.


4. $|1-z|$ est la distance entre le point M d'affixe $z$ et le point A d'affixe 1.
On a: $|1+z|=|z-(-1)|$. Donc $|1+z|$ est la distance entre le point A' d'affixe $-1$ et le point M d'affixe $z$.
On a: $|f(z)|=1⇔|{1+z}/{1-z}|=1⇔{|1+z|}/{|1-z|}=1⇔|1+z|=|1-z|$.
Donc, d'après ce qui précède, $|f(z)|=1$ si et seulement si $MA=A'M$
Donc l'ensemble cherché est la médiatrice du segment [AA'], c'est à dire la droite $(OJ)$.

Autre méthode: $|f(z)|=1⇔|1+z|=|1-z|⇔|1+x+iy|=|1-x-iy|$
Soit: $|f(z)|=1⇔|1+x+iy|^2=|1-x-iy|^2⇔(1+x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2$
Soit: $|f(z)|=1⇔1+2x+x^2+y^2=1-2x+x^2+y^2⇔4x=0⇔x=0$
Donc l'ensemble cherché est la droite $(OJ)$.

5. Nous procédons comme dans la seconde méthode vue ci-dessus.
$|f(z)|=k⇔|1+z|=k|1-z|⇔|1+x+iy|=k|1-x-iy|$
Soit: $|f(z)|=k⇔|1+x+iy|^2=k^2|1-x-iy|^2⇔(1+x)^2+y^2=k^2((1-x)^2+y^2)$
Soit: $|f(z)|=k⇔1+2x+x^2+y^2=k^2-2k^2x+k^2x^2+k^2y^2$
Soit: $|f(z)|=k⇔x^2(1-k^2)+2(1+k^2)x+1-k^2+y^2(1-k^2)=0$
Nous divisons chaque membre par $1-k^2$, qui est non nul car $k$ est différent de 1.
On obtient: $|f(z)|=k⇔x^2+2{1+k^2}/{1-k^2}x+{1-k^2}/{1-k^2}+y^2=0$
Soit: $|f(z)|=k⇔x^2+2{1+k^2}/{1-k^2}x+1+y^2=0$
Soit: $|f(z)|=k⇔x^2+2{1+k^2}/{1-k^2}x+({1+k^2}/{1-k^2})^2-({1+k^2}/{1-k^2})^2+1+y^2=0$
Soit: $|f(z)|=k⇔(x+{1+k^2}/{1-k^2})^2+y^2=({1+k^2}/{1-k^2})^2-1$
Soit: $|f(z)|=k⇔(x+{1+k^2}/{1-k^2})^2+y^2={1+2k^2+k^4-1+2k^2-k^4}/{(1-k^2)^2}$
Soit: $|f(z)|=k⇔(x-{1+k^2}/{k^2-1})^2+y^2={4k^2}/{(1-k^2)^2}$
Notons que, comme $k$ est strictement positif, on a: $√{{4k^2}/{(1-k^2)^2}}={2k}/{|1-k^2|}$.
Donc l'ensemble cherché est le cercle de centre $B ({1+k^2}/{k^2-1};0)$ et de rayon ${2k}/{|1-k^2|}$.

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