Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 7

On se place dans le plan complexe muni du repère (O,I,J).
Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

1.a. Construire graphiquement le point M du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie le système: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$

1.b. Nous allons retrouver par le calcul le résultat précédent.
En utilisant la forme algébrique de M, déterminer ses coordonnées.

2. Le complexe $(1+i√3)^{9}$ est-il un réel?

3. Soit E le point d’affixe ${-3-i√3}/{2}$ et F le point d’affixe ${-3+i√3}/{2}$.
Montrer que le triangle OEF est équilatéral.


Solution...
Corrigé

1.a. Clique ICI pour revoir le cours sur modules et distances.
Le point M a pour affixe $z$.
Soit A le point d'affixe $2+i$, B le point d'affixe 3, et W le point d'affixe $-2$.
$\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table AM=BM; WM=2√2$

Par conséquent M est un point appartenant à la fois à la médiatrice du segment [AB] et au cercle de centre W et de rayon $2√2$.
D'où la construction ci-dessous.
complexes et cercle

Nous constatons graphiquement que M a pour affixe $z=-2i$

1.b. Posons $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
$\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table ∣x+iy-2-i∣=∣x+iy-3∣; ∣x+iy+2∣=2√2$$⇔$$\{\table √{(x-2)^2+(y-1)^2}=√{(x-3)^2+y^2}; √{(x+2)^2+y^2}=2√2$

Soit: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table (x-2)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+y^2; (x+2)^2+y^2=8$.
La mise au carré conserve l'équivalence car toutes les quantités sont positives.

Soit: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table x^2-4x+4+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2; x^2+4x+4+y^2=8$$⇔$$\{\table 2x-4=2y; x^2+4x-4+y^2=0$

Soit: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table x-2=y; x^2+4x-4+(x-2)^2=0$
On note que $y=x-2$ est l'équation de la médiatrice de [AB] vue au 1.a.

Soit: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table x-2=y; x^2+4x-4+x^2-4x+4=0$$⇔$$\{\table x-2=y; 2x^2=0$

Soit: $\{\table ∣z-2-i∣=∣z-3∣; ∣z+2∣=2√2$$⇔$$\{\table x-2=y; x=0$$⇔$$\{\table -2=y; x=0$
Par conséquent, M est bien le point d'affixe $z=-2i$


2. $(1+i√3)^{9}$ est réel si et seulement si $\Im((1+i√3)^{9})=0$.
Mais il semble difficile de vérifier directement ce résultat en développant l'expression proposée!
Cherchons plutôt un argument de $(1+i√3)^{9}$.
Il suffit d'écrire ce complexe sous forme trigonométrique.

Cherchons d'abord le module de $1+i√3$.
$|1+i√3|=√{(1)^2+√3^2}=√{1+3}=√{4}=2$.     Soit: $|1+i√3|=2$.
Puis on factorise: $1+i√3=2({1}/{2}+i{√3}/{2})$.
On note alors que: $1+i√3=2(\cos ({π}/{3})+i\sin ({π}/{3}))$.
C'est l'écriture de $1+i√3$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg (1+i√3)={π}/{3}\, [2 π]$.
Et par là: $(1+i√3)^{9}$ a pour argument ${π}/{3}×9=3π$.
Or: $3π=π\, [2 π]$, et donc le complexe $(1+i√3)^{9}$ a pour argument $π$, et par là, c'est bien un réel.
On peut même ajouter que c'est un réel négatif!


3. On constate que $z_E$ et $z_F$ sont conjugués. Donc $∣z_E∣=∣z_F∣$, et par là: OE=OF.
On calcule alors OE$=√{({-3}/{2})^2+({√3}/{2}^2}=√{{9}/{4}+{3}/{4}}=√{3}$
Par ailleurs: $z_F-z_E={-3+i√3}/{2}-{-3-i√3}/{2}=i√3$.
Et comme: EF$=∣z_F-z_E∣$, on obtient: EF$=√3$.
Finalement, on en déduit que: OE=OF=EF, et par là: OEF est équilatéral.

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