Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

A SAVOIR: le cours sur la densité

Exercice 1

  1. Robin tire une flèche sur une cible en forme de disque de rayon 1 mètre.
    Sa flèche atteint la cible à coup sûr.
    Soit X la variable aléatoire donnant la distance (en mètres) entre le point d'impact de la flèche et le centre O de la cible.
    X admet pour densité la fonction $f(x)=ax$ sur $[0;1]$.
    Déterminer la valeur de $a$.

  2. a. Quelle est la probabilité que la flèche de Robin soit à moins de 10 cm du centre.
    b. Quelle est la probabilité que la flèche de Robin soit entre 10 et 20 cm du centre.
    c. On admet que $E(X)={2}/{3}$.
    Interprétez cette valeur de deux façons différentes.

Solution...

Corrigé

  1. fig4
    Comme $f$ est une densité, l'aire du domaine situé entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut 1.
    Or, le domaine en question un triangle de base $1-0=1$ et de hauteur $f(1)=a×1=a$.
    Son aire vaut donc: ${1×a}/{2}=0,5a$.
    On obtient donc $0,5a=1$. Et par là: $a=2$. Donc finalement, $f(x)=2x$.

  2. a. La probabilité cherché est: $$p(0≤X≤0,1)=∫_0^{0,1} f(x)dx$$.
    Or, le domaine dont on cherche l'aire est un triangle rectangle de base $0,1-0=0,1$ et de hauteur $f(0,1)=2×0,1=0,2$.
    Donc: $$p(0≤X≤0,1)={0,1×0,2}/{2}=0,01$$

    b. La probabilité cherché est: $$p(0,1≤X≤0,2)=∫_{0,1}^{0,2} f(x)dx$$.
    Or, le domaine dont on cherche l'aire est un trapèze de bases $f(0,1)=0,2$ et $f(0,2)=0,4$ et de hauteur $0,2-0,1=0,1$.
    Donc: $$p(0,1≤X≤0,2)={0,2+0,4}/{2}×0,1=0,03$$

    c. Première interprétation.
    On a: ${2}/{3}≈0,67$
    Sur un très grand nombre de lancers, Robin tire en moyenne à environ 67 cm du centre de la cible.
    Il n'est pas très doué...

    Seconde interprétation.
    On a: $$E(X)=∫_0^{1} x.f(x)dx=∫_0^{1} 2x^2 dx$$.
    Le trinôme du second degré $2x^2$ est continu et positif.
    Donc $E(X)$ représente l'aire du domaine situé entre la parabole représentant le trinôme, l'axe des abscisses, et la droite d'équation $x=1$.
    Ce domaine (hachuré en vert ci-dessous) a donc une aire égale à ${2}/{3}$ d'unités d'aires.
    fig5

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