Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

A SAVOIR: le cours sur la densité

Exercice 2

  1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=0,003x^2$ sur $[0;10]$.
    Montrer que $f$ est une densité.

  2. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={a}/{x^2}$ sur $[1;+∞[$.
    Déterminer la valeur de $a$ pour que $g$ soit une densité.

  3. Chaque jour, Jean prend le bus pour se rendre au lycée.
    Il a constaté que son temps d'attente X (en minutes) suit une loi de densité $f$.
    Aujourd'hui, Jean arrive à l'arrêt de bus.
    a. Quelle est la probabilité qu'il attende moins de 7 minutes.
    b. Quelle est la probabilité que son temps d'attente soit compris entre 7 et 9 minutes.
    c. Déterminez l'espérance de X.
    Interprétez concrètement le nombre trouvé.

  4. Un appareil fonctionne au moins une heure sans panne. Sa durée (en heures) de fonctionnement sans panne est donné par la variable aléatoire Y de densité $g$.
    Quelle est la probabilité pour que l'appareil fonctionne au moins 10 heures?

Solution...

Corrigé

  1. La fonction $f$, polynôme, est continue.
    De plus, la fonction $f$ est positive (c'est le produit d'un nombre positif par un carré).
    Par conséquent, $f$ étant positive et continue, l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_0^{10} f(x)dx$$
    Or: $$∫_0^{10} f(x)dx=∫_0^{10} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{10}=0,003{10^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=1$$
    Donc: $$A=1$$
    Finalement, les trois conditions suffisantes sont vérifiées, et par là, $f$ est bien une densité.

  2. La fonction $g$, quotient de fonctions continues, est continue.
    De plus, comme $x^2\text">"0$ (pour $x$ non nul, ce qui est le cas), la fonction $g$ est positive si et seulement si $a$ l'est.
    On a donc $a\text">"0$.
    Par ailleurs, $g$ étant désormais positive et continue, l'aire située entre $C_g$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=\lim↙{x→+∞}∫_1^{x} g(t)dt$$
    Il est nécessaire et suffisant que cette aire vaille 1.
    Or: $$∫_1^{x} g(t)dt=∫_1^{x} {a}/{t^2}dt=[-{a}/{t}]_1^{x}=-{a}/{x}-(-{a}/{1})=a-{a}/{x}$$
    Comme $A=\lim↙{x→+∞} a-{a}/{x}=a-0=a$, on obtient: $a=1$. Dès lors, les trois conditions sont vérifiées pour que $g$ soit une densité.

  3. a. La probabilité cherché est: $$p(0≤X≤7)=∫_0^7 f(x)dx$$.
    Soit: $$p(0≤X≤7)=∫_0^{7} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{7}=0,003{7^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=0,343$$.

    b. La probabilité cherché est: $$p(7≤X≤9)=∫_7^9 f(x)dx$$.
    Soit: $$p(7≤X≤9)=∫_7^{9} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_7^{9}=0,003{9^3}/{3}-0,003{7^3}/{3}=0,386$$.

    La densité $f$ est représentée ci-dessous.
    Les aires des parties hachurées (en unités d'aires) correspondent aux probabilités cherchées.

    fig6

    c.

    $$E(X)=∫_0^{10} x.f(x)dx=∫_0^{10} x.0,003x^2dx=∫_0^{10} 0,003x^3dx=[0,003{x^4}/{4}]_0^{10}$$.
    Soit: $$E(X)=0,003{10^4}/{4}-0,003{0^4}/{4}=7,5$$.
    Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend certainement vers 7 minutes et 30 secondes.


  4. On cherche: $$p(10≤X)=1-p(1≤X<10)=∫_1^{10} {1}/{x^2}dx=[-{1}/{x}]_1^{10}=-{1}/{10}-(-{1}/{1})=0,9$$.
    La probabilité pour que l'appareil fonctionne au moins 10 heures vaut 0,90.

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