Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

A SAVOIR: le cours sur la densité

Exercice 5

1. De quel type est la loi X associée à la densité $f$ représentée ci-contre?
On déterminera la valeur de $y_0$.

loi uniforme

2. Déterminer $p(1≤X≤1,5)$.
3. Quelle est l'espérance $m$ de X?
4. Y est la loi normale centrée réduite de densité $g$.
Z est la loi normale d'espérance 1,5, d'écart-type 0,6 et de densité $h$.
Les densités $g$ et $h$ sont représentées ci-dessous.
Associer à chaque densité sa représentation graphique parmi $\C_1$, $\C_2$, $\C_3$ et $\C_4$.
fig3
5. La variable aléatoire R suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; 10]. Son espérance vaut 6. Que vaut $a$?

6. La variable aléatoire R est celle de la question précédente. La variable aléatoire S suit la loi uniforme sur l'intervalle [5; 9].
Jean attend deux amies Romane et Sarah. Le temps d'attente de Romane est modélisé par la variable aléatoire R, celui de Sarah par la variable aléatoire S. Les arrivées des 2 amies sont totalement indépendantes.
Quelle est la probabilité qu'au moins une des amies arrive avant 7 minutes?

Solution...
Corrigé
    Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les lois uniformes.
  1. $f$ est constante sur un intervalle et nulle ailleurs.
    Donc X suit une loi uniforme.
    L'intervalle étant [0,8;1,7], la densité $f$ est telle que $f(x)={1}/{1,7-0,8}={1}/{0,9}≈1,111$.
    C'est d'ailleurs la valeur de $y_0$.

  2. $$p(1≤X≤1,5)=∫_{1}^{1,5} f(x)dx=∫_{1}^{1,5} {1}/{0,9}dx={1}/{0,9}∫_{1}^{1,5} 1dx={1}/{0,9}[x]_{1}^{1,5}={1}/{0,9}(1,5-1)$$
    Soit: $p(1≤X≤1,5)={0,5}/{0,9}≈0,556$.
    Autre méthode: X suit une loi uniforme sur l'intervalle [0,8;1,7], donc $p(1≤X≤1,5)={1,5-1}/{1,7-0,8}={0,5}/{0,9}≈0,556$.

  3. $m={1,7+0,8}/{2}=1,25$.

  4. Comme Y est la loi normale centrée réduite de densité $g$, la courbe représentative de $g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (dans un repère orthogonal), et $g(0)≈0,4$.
    Donc, par élimination, $g$ est représentée par $\C_2$.

    Comme Z est la loi normale d'espérance 1,5, d'écart-type 0,6 et de densité $h$, la courbe représentative de $h$ est symétrique par rapport à à la droite d'équation $x=1,5$ (dans un repère orthogonal).
    Donc, par élimination, $h$ est représentée soit par $\C_3$, soit par $\C_4$.
    Or, on sait que $p(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0,95$.
    Soit, ici: $p(0,3≤Z≤2,7)≈0,95$.
    De plus, l'aire totale sous la courbe représentant Z vaut 1.
    Par conséquent, $\C_4$ ne convient pas.
    Par élimination, $h$ est représentée par $\C_3$.

  5. 5. La variable aléatoire R suit la loi uniforme sur l'intervalle [a; 10]. Or, son espérance vaut 6.
    Par conséquent: ${a+10}/{2}=6$.
    Et par là: $a=2$


    6. Soit E l'événement: "Jean attend moins de 7 minutes".
    Le contraire de cet événement est $\ov{E}$: "les deux amies arrivent dans au moins 7 minutes"
    Or, on a: $p(R≥7)={10-7}/{10-2}={3}/{8}=0,375$
    Et on a: $p(S≥7)={9-7}/{9-5}={2}/{4}=0,5$
    Donc, comme les événements $(R≥7)$ et $(S≥7)$ sont indépendants, on obtient: $p(\ov{E})=p(R≥7)×p(S≥7)=0,375×0,5=0,1875$
    Et donc: $p(E)=1-0,1875=0,8125$
    La probabilité qu'une des amies arrive avant 7 minutes vaut 0,8125.

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