Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

A SAVOIR: le cours sur la densité

Exercice 6

Dans ce problème, toute valeur sera arrondie à 0,001 près, sauf indication contraire.

Un appareil électrique Tensio fonctionne avec 3 composants Durepa et s'arrête dès que 2 composants sont usés.
Les composants fonctionnent de façons indépendantes.
La durée de vie X d'un composant de marque Durepa utilisé dans l'appareil Tensio suit une loi exponentielle de paramètre $λ$.
La durée de vie moyenne d'un composant Durepa est alors de 50 heures.

  1. Quelle est la valeur de $λ$?
    Donner la fonction de densité $f$ de X.
  2. Calculer la probabilité qu'un composant fonctionne plus de 24 heures dans l'appareil électrique Tensio.
  3. En supposant qu'un composant a fonctionné pendant 24 heures, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore pendant 12 heures?
  4. Soit Y la durée de fonctionnement de l'appareil Tensio.
    Il est clair que, pour $t$ strictement négatif, on a: $p(Y≤t)=0$.
    Montrer que, pour tout $t$ positif, $p(Y≤t)=1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}$.
  5. Montrer alors que Y admet pour densité $g$, fonction définie par:
    $g(t)=0,12(e^{-0,04t}-e^{-0,06t})$ pour $t≥0$,
    et par $g(t)=0$ pour $t$<$0$.
Solution...
Corrigé
  1. Clique ICI pour revoir les lois exponentielles.

    Comme la durée de vie moyenne de ces composants est de 50 heures, on a: $E(X)=50$.
    Or, comme X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$, on a: $E(X)={1}/{λ}$.
    Et par là: ${1}/{λ}=50$, et donc: $λ={1}/{50}=0,02$.
    Et finalement: $f(x)=0,02e^{-0,02x}$ pour $x≥0$ et $f(x)=0$ pour $x<0$.

  2. On calcule: $p(24≤X)=e^{-0,02×24}≈0,619$.
    La probabilité qu'un composant fonctionne plus de 24 heures est d'environ 0,619.

  3. On cherche $p_{24≤X}(24+12≤X)$.
    Méthode 1: si on sait (mais ce n'est pas dans le programme) qu'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans viellissement, alors on peut dire que, pour tous $t$ réel et $x$ réel positif, on a: $p_{t≤X}(t+x≤X)=p(x≤X)$.
    Par exemple, le fait qu'un composant aie déjà fonctionné pendant 24 heures n'influe pas sur la probabilité qu'il fonctionne encore 12 heures.
    Ici, cela donne en particulier: $p_{24≤X}(24+12≤X)=p(12≤X)$.
    Et par là, la probabilité cherchée vaut: $p(12≤X)=e^{-0,02×12}≈0,787$.

    Méthode 2: Clique ICI pour revoir les probabilités conditionnelles.

    on applique la formule concernant les probabilités conditionnelles.
    $p_{24≤X}(24+12≤X)={p((24+12≤X)∩(24≤X))}/{p(24≤X)}$.
    Et comme $(24+12≤X)∩(24≤X)=(24+12≤X)$, on obtient: $p_{24≤X}(24+12≤X)={p(24+12≤X)}/{p(24≤X)}$.
    Soit: $p_{24≤X}(24+12≤X)={e^{-0,02×(24+12)}}/{e^{-0,02×24}}=e^{-0,02×12}≈0,787$.
    La probabilité qu'un composant fonctionne encore pendant 12 heures est d'environ 0,787.

  4. Méthode 1: Nommons $X_i$ la durée de fonctionnement du composant $i$ pour $i$ entre 1 et 3.
    La durée de fonctionnement de l'appareil Tensio est inférieure ou égale à $t$ si deux composants ont cessé de fonctionner alors que le troisième fonctionne encore, ou si les 3 composants sont hors d'usage.
    On a donc: $Y≤t=(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3≥t)∪(X_1$<$t∩X_2≥t∩X_3$<$t)$
                          $∪(X_1≥t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)∪(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)$.
    Les 4 cas sont incompatibles, et par là:
    $p(Y≤t)=p(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3≥t)+p(X_1$<$t∩X_2≥t∩X_3$<$t)$
                   $+p(X_1≥t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)+p(X_1$<$t∩X_2$<$t∩X_3$<$t)$.
    Les composants fonctionnent de façons indépendantes, donc on obtient:
    $p(Y≤t)=p(X_1$<$t)×p(X_2$<$t)×p(X_3≥t)+p(X_1$<$t)×p(X_2≥t)×p(X_3$<$t)$
                   $+p(X_1≥t)×p(X_2$<$t)×p(X_3$<$t)+p(X_1$<$t)×p(X_2$<$t)×p(X_3$<$t)$.
    Soit: $p(Y≤t)=3(p(X$<$t))^2p(X≥t)+(p(X$<$t))^3$.
    Soit: $p(Y≤t)=3(1-e^{-0,02t})^2e^{-0,02t}+(1-e^{-0,02t})^3$.
    Soit: $p(Y≤t)=3(1-2e^{-0,02t}+(e^{-0,02t})^2)e^{-0,02t}+1-3e^{-0,02t}+3(e^{-0,02t})^2-(e^{-0,02t})^3$.
    Soit: $p(Y≤t)=3e^{-0,02t}-6e^{-0,04t}+3e^{-0,06t}+1-3e^{-0,02t}+3e^{-0,04t}-e^{-0,06t}$.
    Soit: $p(Y≤t)=1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}$.

    Méthode 2: Clique ICI pour revoir les lois binomiales.

    Soit S la variable aléatoire donnant le nombre de composants dont la durée de fonctionnement est inférieure à $t$.
    Les 3 composants fonctionnent de façons indépendantes et similaires.
    Pour chacun d'eux, la probabilité d'avoir une durée de fonctionnement inférieure à $t$ vaut: $p=p(X$<$t)$.
    La variable aléatoire S suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=p(X$<$t)$.
    On cherche: $p(S≥2)$.
    On obtient: $p(S≥2)=p(S=2)+p(S=3)=(\table 3; 2)p^2(1-p)^1+(\table 3; 3)p^3(1-p)^0$
    Soit: $p(S≥2)=3(p(X$<$t))^2p(X≥t)+(p(X$<$t))^3$.
    On reconnait le résultat obtenu avec la méthode 1, qui donne finalement: $p(Y≤t)=1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}$.

  5. Clique ICI pour revoir une propriété importante des lois à densité.

    La densité $g$ de Y vérifie évidemment l'égalité $g(t)=0$ pour $t$<$0$.
    Par ailleurs, pour tout $t≥0$, on a: $$p(Y≤t)=∫_0^t g(x)dx$$
    Donc: $$1-3e^{-0,04t}+2e^{-0,06t}=∫_0^t g(x)dx$$
    Et, en dérivant par rapport à $t$, on obtient: $0-3×(-0,04)e^{-0,04t}+2×(-0,06)e^{-0,06t}=g(t)$.
    Soit: $g(t)=0,12(e^{-0,04t}-e^{-0,06t})$ pour $t≥0$.

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