Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

A SAVOIR: le cours sur la densité

Exercice 7

Dans ce problème, toute valeur sera arrondie à 0,001 près, sauf indication contraire.

En France, la taille des femmes (en cm) suit une loi normale $N(163;30,25)$.

  1. Que vaut l'écart-type $σ$ associé à cette loi?
  2. On choisit une femme au hasard.
    Quelle est la probabilité qu'elle mesure entre 1,60m et 1,70m?
  3. Quelle est la probabilité sa taille soit supérieure à 1,80m?
  4. On suppose que la probabilité que la taille d'une femme choisie au hasard soit inférieure à $x$ vaut 0,84.
    Quelle est la valeur de $x$ ( à 1 cm près par défaut) ?
Solution...
Corrigé
  1. On a: $σ^2=30,25$, et $σ>0$. Par conséquent: $σ=√{30,25}=5,5$ (cm).

  2. Clique ICI pour revoir les calculs sur les lois normales.
    Soit X la variable aléatoire donnant la taille (en cm). On cherche: $p(160≤X≤170)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(160≤X≤170)≈0,606$.

  3. On cherche: $p(X≥180)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(X≥180)≈0,001$.

  4. On cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,84$.
    A la calculatrice, on obtient: $x≈168$.

    La probabilité de 0,84 est particulière et l'on peut retrouver la valeur de $x$ autrement!
    Pour $X=N(μ;σ)$, par symétrie de la densité par rapport à la droite d'équation $x=μ$, il est clair que: $p(X\text"<"μ-σ)= p(μ+σ\text"<"X)={1-p(μ-σ≤X≤μ+σ)}/{2}$.
    Et chacun sait que: $p(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0,68$.
    Donc, en particulier: $p(μ+σ\text"<"X)≈{1-0,68}/{2}≈0,16$.
    Et par là: $p(X\text"<"μ+σ)≈1-0,16≈0,84$
    Or on cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,84$.
    D'où: $μ+σ≈x$, soit: $163+5,5≈x$, soit: $168,5≈x$.
    Et, en arrondissant par défaut: $x≈168$.
Réduire...

Copyright 2013 - maths-s.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.