Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Dérivation

A SAVOIR: le cours sur la dérivation

Exercice 5

Cet exercice utilise des fonctions vues en terminale.
Questions 1. et 2. : utilisent la fonction exponentielle
Questions 3. et 4. : utilisent la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien

Déterminer $f\,'$, puis le signe de $f\,'$ sur I, et dresser alors le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle I (sans les limites) dans chacun des cas suivants:

  1. $f(x)=5e^{-x^2+1}$ sur $I=\R$
  2. $f(x)=e^{5x+1}+6x$ sur $I=\R$
  3. $f(x)=e^{5x+1}-6x$ sur $I=\R$
  4. $f(x)=5x\ln x+x$ sur $I=]0;+∞[$

Solution...
Corrigé
  1. $f(x)=5e^{-x^2+1}$ sur $I=\R$.
    On pose $f=ke^u$ avec $k=5$ et $u=-x^2+1$.
    D'où $f\,'=ku'e^u$ avec $u'=-2x$.
    Soit $f\,'(x)=5×(-2x)×e^{-x^2+1}=-10xe^{-x^2+1}$.
    $f\,'$ est un produit de 2 facteurs.
    $-10x$ est linéaire, de coefficient $-10$ strictement négatif, et s'annule pour $x=0$.
    $e^{-x^2+1}$ est une exponentielle, et donc strictement positive.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
    tableau de variation
  2. $f(x)=e^{5x+1}+6x$ sur $I=\R$.
    On pose $f=e^u+6x$ avec $u=5x+1$.
    D'où $f\,'=u'e^u+6$ avec $u'=5$.
    Soit $f\,'(x)= 5e^{5x+1}+6$.
    $f\,'$ est une somme de termes.
    L'exponentielle $e^{5x+1}$ est strictement positive et 5 également.
    Donc le premier terme $5e^{5x+1}$ est strictement positif.
    Or le second terme 6 est strictement positif.
    Donc $f\,'$ est strictement positive.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
    variations
  3. $f(x)=e^{5x+1}-6x$ sur $I=\R$.
    On pose $f=e^u-6x$ avec $u=5x+1$.
    D'où $f\,'=u'e^u-6$ avec $u'=5$.
    Soit $f\,'(x)= 5e^{5x+1}-6$.
    $f\,'$ est une somme de termes.
    Mais $5e^{5x+1}\text">"0$ alors que $-6\text"<"0$.
    On va chercher pour quels $x$ l'expression $5e^{5x+1}-6$ est positive.
    Par conséquent, on résout $5e^{5x+1}-6\text">"0$.
    Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔5e^{5x+1}\text">"6⇔e^{5x+1}\text">"{6}/{5}$
    Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔\ln(e^{5x+1})\text">"\ln({6}/{5})⇔5x+1\text">"\ln(1,2)$
    Soit $5e^{5x+1}-6\text">"0⇔5x\text">"\ln(1,2)-1⇔x\text">"{\ln(1,2)-1}/{5}$
    De même, on obtient $5e^{5x+1}-6=0⇔x={\ln(1,2)-1}/{5}$
    D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
    variation
  4. $f(x)=5x\ln x+x$ sur $I=]0;+∞[$.
    On pose $f=uv+x$ avec $u=5x$ et $v=\ln x$.
    D'où $f\,'=u'v+uv'+1$ avec $u'=5$ et $v'={1}/{x}$.
    Soit $f\,'(x)=5\lnx +5x{1}/{x}+1=5\ln x+5+1=5\ln x+6$.
    $f\,'$ est une somme de termes.
    6>0, mais le signe de $5\ln x$ est variable.
    On va chercher pour quels $x$ l'expression $5\ln x+6$ est positive.
    Par conséquent, on résout $5\ln x+6\text">"0$.
    $5\ln x+6\text">"0⇔\ln x\text">"{-6}/{5}⇔e^{\ln x}\text">"e^{{-6}/{5}}⇔x\text">"e^{-1,2}$.
    De même, on obtient $5\ln x+6=0⇔x=e^{-1,2}$.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur I.
    signe de f' et variation de f
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