Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie dans l'espace

A SAVOIR: le cours sur la géométrie dans l'espace

Exercice 1

ABCDS est une pyramide non aplatie telle que,
d'une part: les droites (AB) et (CD) sont parallèles,
d'autre part: les droites (CB) et (DA) ne sont pas parallèles.

Les plans (SBA) et (SCD) sont sécants. Pourquoi?
Les plans (SBC) et (SAD) sont sécants. Pourquoi?

Reproduire le dessin et dessiner l'intersection des plans (SBA) et (SCD).
On expliquera rapidement la construction.

Reproduire le dessin et dessiner l'intersection des plans (SBC) et (SAD).
On expliquera rapidement la construction.

fig2
Solution...
Corrigé

Les plans (SBA) et (SCD) ont un point commun, le point S. Donc, soit ils sont confondus, soit ils sont sécants.
Ils ne sont pas confondus en un plan P, car ce plan P contiendrait les points A, B, C, D et S, et la pyramide ABCDS serait aplatie.
Donc les plans (SBA) et (SCD) sont sécants.
Les plans (SBC) et (SAD) sont sécants pour la même raison.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Or, le plan (SBA) contient la droite (AB), et le plan (SCD) contient la droite (CD).
Enfin, les plans (SBA) et (SCD) sont sécants.
Donc, d'après le théorème du toit, les plans (SBA) et (SCD) se coupent selon une droite parallèle à (AB) et à (CD).
Le point S appartenant aux deux plans, cette droite passe par S.
Elle est représentée en rouge dans le dessin ci-dessous.
théorème du toit


Les plans (SBC) et (SAD) sont sécants selon une droite $d$ qui passe par le point S (car S appartient aux deux plans).
Reste à déterminer un second point de cette droite $d$ pour la tracer.
Les droites (CB) et (DA), non parallèles, et toutes deux dans le plan (ABC), sont donc sécantes.
Soit F leur point d'intersection.
Comme F est sur (CB), il appartient au plan (SBC).
Comme F est sur (DA), il appartient au plan (SAD).
Donc F appartient aux deux plans (SBC) et (SAD), et par là, à leur intersection, la droite $d$.
La droite $d$ passe donc par S et par F.
Elle est représentée en rouge dans le dessin ci-dessous.

intersection de plans
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