Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie dans l'espace

A SAVOIR: le cours sur la géométrie dans l'espace

Exercice 3

ABCDEFGH est un cube.
M un point à l'intérieur de la face (ABFE).
N un point à l'intérieur de la face (ABCD).
O un point à l'intérieur de la face (BCGF).
Les points sont disposés selon la figure ci-dessous.

cube

Le but de l'exercice est de construire la section $s$ du cube par le plan (MNO).
Vous pouvez tenter de la tracer sans aide.
Si vous préférez, suivez le mode d'emploi qui suit...

1. O' est l'intersection de la parallèle à (BC) passant par O avec la droite (BF).
N' est l'intersection de la parallèle à (BC) passant par N avec la droite (BA).
Pourquoi les points O, O', N' et N sont-ils coplanaires?

2. On admettra que les droites (ON) et (O'N') sont sécantes en un point X.
Les plans (MNO) et (ABF) sont sécants selon une droite $d_1$.
Quelle est-elle? (justifiez)
Tracer la portion de section sur la face (ABFE).

3. Les plans (MNO) et (CBF) sont sécants selon une droite $d_2$.
Quelle est-elle? (justifiez)
Tracer la portion de section sur la face (BCGF).

4.Tracer la section $s$ cherchée.
Pourquoi les segments situés sur les faces (BCGF) et (ADHE) sont-ils parallèles?

Solution...
Corrigé

1. Les droites (OO') et (NN') sont toutes deux parallèles à la droite (BC), et par là, elles sont parallèles entre elles.
Par conséquent, elles sont coplanaires, et de ce fait, les points O, O', N' et N sont coplanaires.
points coplanaires

2. Le point X appartient à la droite (ON), et donc au plan (MNO).
Le point X appartient à la droite (O'N'), et donc, comme O' et N' sont dans le plan (ABF), le point X est aussi dans le plan (ABF).
Finalement, X est à la fois dans (MNO) et dans (ABF).
Par ailleurs, c'est également le cas du point M.
Et par là, la droite $d_1$ selon laquelle les plans (MNO) et (ABF) sont sécants passe par M et X.
Elle est tracé en rouge sur le dessin ci-dessus.
La portion de section sur la face (ABFE) est le segment [YZ], tracé en orange sur le dessin ci-dessous.
plan coupant une face

3. Les plans (MNO) et (CBF) sont sécants selon une droite $d_2$.
Déterminons deux points de $d_2$.
Il s'agit tout d'abord du point O, qui appartient à (MNO) par évidence, et à (CBF) par définition.
Il s'agit ensuite du point Z, qui appartient à (MNO) car il est sur $d_1$, et à (CBF) car il est sur (BF).
Donc la droite $d_2$ passe par Z et par O.
La portion de section sur la face (BCFG) est le segment [ZW], tracé en orange sur le dessin ci-dessous.
intersection de 2 plans

4. La section se termine simplement; il s'agit du polygone YZWV, tracé ci-dessous.
section de cube
Le plan (MNO) coupe logiquement les faces parallèles du cube (BCGF) et (ADHE) selon des segments parallèles, et par là, [ZW] est parallèle à [YV].

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