Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction exponentielle

A SAVOIR: le cours sur l'exponentielle

Exercice 1

Un exercice d'échauffement, assez facile!

Soit $\C$ la courbe représentative de $f(x)=3e^{{1}/{3}x}-x^2+4x$.

Déterminer une équation de $d$, tangente à $C$ en 3.
Montrer que $A(-1;11-e)$ est sur $d$.

Solution...

Corrigé

Tout d'abord, dérivons $f$.
On pose $u={1}/{3}x$. Donc $u'={1}/{3}$.
Ici $f=3e^u-x^2+4x$ et donc $f\,'=3u'e^u-2x+4$.
Donc $f\,'(x)=3×{1}/{3}×e^{{1}/{3}x}-2x+4=e^{{1}/{3}x}-2x+4$.

$d$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=3$,
$f(x_0)=3e^{{1}/{3}3}-3^2+4×3=3e-9+12=3e^1+3=3e+3$.
$f\,'(x_0)=e^{{1}/{3}3}-2×3+4=e^1-6+4=e-2$.
D'où l'équation: $y=3e+3+(e-2)(x-3)$.
Soit: $y=(e-2)x-3e+6+3e+3$,    soit: $y=(e-2)x+9$.
Donc $d$ a pour équation $y=(e-2)x+9$.

On a: $(e-2)x_A+9=(e-2)(-1)+9=-e+2+9=-e+11=y_A$.
Les coordonnées de A vérifient l'équation de $d$.
Donc A est sur la droite $d$.

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