Fonction exponentielle
A SAVOIR: le cours sur l'exponentielle
Exercice 4
Une application classique de l'exponentielle aux suites!La suite $(u_n)$ est définie par $u_n=100e^{-0,105n}$ pour tout entier naturel $n$.
- Déterminez $u_0$, $u_1$ et $u_2$, puis montrez que $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
-
Quelle est la nature de $(u_n)$ ?
Donnez la valeur de sa raison et de son premier terme. - Quel est le sens de variation de $(u_n)$?
-
Soit $a$ le réel tel que $e^a=0,5$. On admet que $a≈-0,693$.
Résoudre sur $\R$ l'inéquation (1) $100e^{-0,105x}≤50$.
En déduire la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n≤50$
Corrigé
- Tu peux cliquer ICI pour revoir le cours sur les suites arithmétiques et géométriques.
$u_0=100e^{-0,105×0}=100e^0=100×1=100$
$u_1=100e^{-0,105×1}=100e^{-0,105}≈90$
$u_2=100e^{-0,105×2}=100e^{-0,21}≈81$
On rappelle qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si, pour tout entier natuel $n$, $u_{n+1}-u_n$ reste constant.
Or, ici, on a: $u_2-u_1≈9$ et $u_1-u_0≈10$. Et par là: $u_2-u_1≠u_1-u_0$.
Donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique. - Pour tout naturel $n$, on a:
$u_n=100e^{-0,105n}=100(e^{-0,105})^n$.
Pour tout naturel $n$, on a donc: : $u_n=100(e^{-0,105})^n$.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique.
Sa raison est $e^{-0,105}≈0,90$; son premier terme est $u_0=100$. -
$(u_n)$ est définie par $u_n=100(e^{-0,105})^n$ pour tout naturel $n$.
Or, 100 est strictement positif, et la raison $e^{-0,105}$ est strictement comprise entre 0 et 1.
Donc $(u_n)$ est strictement décroissante. -
(1) $⇔$ $100e^{-0,105x}≤50$ $⇔$ $e^{-0,105x}≤{50}/{100}$ $⇔$ $e^{-0,105x}≤0,5$.
Ceux qui connaissent le cours sur la fonction ln obtiennent alors directement, par stricte croissance de la fonction ln:
$e^{-0,105x}≤0,5$ $⇔$ $\ln(e^{-0,105x})≤\ln(0,5)$ $⇔$ $-0,105x≤\ln(0,5)$.
En fait, on a: $a=\ln 0,5≈-0,693$.
Mais l'utilisation de la fonction ln n'est pas indispensable en procédant comme suit:
On a: $e^a=0,5$. Donc (1) $⇔$ $e^{-0,105x}≤e^a$.
Soit: (1) $⇔$ $-0,105x≤a$ (on retrouve évidemment l'inéquation obtenue ci-dessus)
On a donc: (1) $⇔$ $x≥{a}/{-0,105}$. (on a divisé par un nombre strictement négatif, d'où le changement de sens de l'inégalité)
Donc $\S=[{a}/{-0,105};+∞[$.
Or ${a}/{-0,105}≈6,6$.
Donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n≤50$ est 7.
