Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction exponentielle

A SAVOIR: le cours sur l'exponentielle

Exercice 4

Une application classique de l'exponentielle aux suites!

La suite $(u_n)$ est définie par $u_n=100e^{-0,105n}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Déterminez $u_0$, $u_1$ et $u_2$, puis montrez que $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
  2. Quelle est la nature de $(u_n)$ ?
    Donnez la valeur de sa raison et de son premier terme.
  3. Quel est le sens de variation de $(u_n)$?
  4. Soit $a$ le réel tel que $e^a=0,5$. On admet que $a≈-0,693$.
    Résoudre sur $\R$ l'inéquation (1) $100e^{-0,105x}≤50$.
    En déduire la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n≤50$

Solution...

Corrigé
  1. Tu peux cliquer ICI pour revoir le cours sur les suites arithmétiques et géométriques.

    $u_0=100e^{-0,105×0}=100e^0=100×1=100$
    $u_1=100e^{-0,105×1}=100e^{-0,105}≈90$
    $u_2=100e^{-0,105×2}=100e^{-0,21}≈81$
    On rappelle qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si, pour tout entier natuel $n$, $u_{n+1}-u_n$ reste constant.
    Or, ici, on a: $u_2-u_1≈9$ et $u_1-u_0≈10$. Et par là: $u_2-u_1≠u_1-u_0$.
    Donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

  2. Pour tout naturel $n$, on a: $u_n=100e^{-0,105n}=100(e^{-0,105})^n$.
    Pour tout naturel $n$, on a donc: : $u_n=100(e^{-0,105})^n$.
    Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique.
    Sa raison est $e^{-0,105}≈0,90$; son premier terme est $u_0=100$.

  3. $(u_n)$ est définie par $u_n=100(e^{-0,105})^n$ pour tout naturel $n$.
    Or, 100 est strictement positif, et la raison $e^{-0,105}$ est strictement comprise entre 0 et 1.
    Donc $(u_n)$ est strictement décroissante.

  4. (1) $⇔$ $100e^{-0,105x}≤50$ $⇔$ $e^{-0,105x}≤{50}/{100}$ $⇔$ $e^{-0,105x}≤0,5$.
    Ceux qui connaissent le cours sur la fonction ln obtiennent alors directement, par stricte croissance de la fonction ln:
    $e^{-0,105x}≤0,5$ $⇔$ $\ln(e^{-0,105x})≤\ln(0,5)$ $⇔$ $-0,105x≤\ln(0,5)$.
    En fait, on a: $a=\ln 0,5≈-0,693$.
    Mais l'utilisation de la fonction ln n'est pas indispensable en procédant comme suit:

    On a: $e^a=0,5$. Donc (1) $⇔$ $e^{-0,105x}≤e^a$.
    Soit: (1) $⇔$ $-0,105x≤a$   (on retrouve évidemment l'inéquation obtenue ci-dessus)
    On a donc: (1) $⇔$ $x≥{a}/{-0,105}$.  (on a divisé par un nombre strictement négatif, d'où le changement de sens de l'inégalité)
    Donc $\S=[{a}/{-0,105};+∞[$.

    Or ${a}/{-0,105}≈6,6$.
    Donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n≤50$ est 7.
Réduire...

Copyright 2013 - maths-s.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.