Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction exponentielle

A SAVOIR: le cours sur l'exponentielle

Exercice 5

Pour maîtriser les limites de fonctions avec exponentielles!

Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ dans chacun des cas suivants:

  1. $f(x)=2e^x+x^2+1$.
  2. $f(x)={e^x-1}/{-e^x+2}$.
  3. $f(x)=-{e^x}/{x}-x$.
  4. $f(x)=e^x-x$.

Solution...

Corrigé
    Tu peux cliquer ICI pour revoir le cours sur les opérations sur les limites.

  1. $f(x)=2e^x+x^2+1$.
    On a: $\lim↙{x→+∞}2e^x=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}1=1$.
    Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).

  2. $f(x)={e^x-1}/{-e^x+2}$.
    On montre facilement que $\lim↙{x→+∞}e^x-1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-e^x+2=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $f(x)$ et on simplifie.

    $f(x)={e^x(1-{1}/{e^x})}/{e^x(-1+{2}/{e^x})}={1-{1}/{e^x}}/{-1+{2}/{e^x}}$.
    Et comme $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}{1-{1}/{e^x}}/{-1+{2}/{e^x}}={1-0}/{-1+0}=-1$.
    Soit: $\lim↙{x→+∞}f(x)=-1$

  3. $f(x)=-{e^x}/{x}-x$.
    Or, comme $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}-{e^x}/{x}=-∞$.
    De même, comme $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$.
    Et par là: $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$ (limite d'une somme).

  4. $f(x)=e^x-x$.
    On montre facilement que $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $f(x)$.

    $f(x)=e^x(1-{x}/{e^x})$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}{x}/{e^x}=0$.
    Donc $\lim↙{x→+∞}1-{x}/{e^x}=1-0=1$.
    Et comme $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.
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