Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction exponentielle

A SAVOIR: le cours sur l'exponentielle

Exercice 6

Cet exercice utilise la fonction logarithme népérien vue en terminale!

A revoir ultérieurement si le cours sur la fonction ln n'a pas encore été donné.

Soit $h$ la fonction définie sur $[-4;4]$ par $h(x)=0,01e^{x^2-9}-3x^2$.

  1. Déterminez $h\,'(x)$, puis le signe de $h'$.
  2. Déterminez le signe de $h'$.
    Dresser le tableau de variation de $h$.

Solution...

Corrigé
  1. On pose $h=0,01e^u-3x^2$,   avec $u=x^2-9$.
    Donc: $h\,'=0,01u'e^u-3×2x$,   avec $u'=2x-0=2x$.
    Et par là: $h\,'(x)=0,01×2xe^{x^2-9}-6x=2x(0,01e^{x^2-9}-3)$.

  2. $h\,'$ est un produit.
    Le premier facteur $2x$ est strictement négatif Sur $[-4;0[$, est nul en 0, et strictement positif Sur $]0;4]$.
    Etudions le signe du second facteur.
    Tu peux cliquer ICI pour revoir des exemples de résolutions similaires (utilisant la fonction ln).
    On résout: $0,01e^{x^2-9}-3\text">"0$ (1) sur $[-4;4][$.
    (1) $⇔$ $0,01e^{x^2-9}\text">"3$ $⇔$ $e^{x^2-9}\text">"300$ $⇔$ $\ln e^{x^2-9}\text">"\ln 300$ $⇔$ $x^2-9\text">"\ln 300$ $⇔$ $x^2\text">"9+\ln 300$
    On a: $√{9+\ln 300}≈3,83$.
    D'où le tableau suivant:
    ln et variations
    La symétrie s'explique par le fait que $h$ est paire (son domaine de définition $D=[-4;4]$ est symétrique par rapport à 0 et, pour tout $x$ de $D$, on a $h(-x)=h(x)$).
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