Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fluctuation et estimation

A SAVOIR: le cours sur fluctuation et estimation

Exercice 4

Les 3 parties sont indépendantes.
Les probabilités et les fréquences demandées seront données à 0,001 près.

Dans une usine, un robot remplit de céréales des boîtes en carton plastifié, puis il y ajoute parfois un cadeau sous cellophane.
Une boîte est conforme lorque sa masse de céréales est comprise entre 194 grammes et 206 grammmes.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque boîte prélevée au hasard dans la production, associe sa masse de céréales (en grammes).
Soit Z la variable donnant le temps (en secondes) de préchauffage du robot.

Partie 1
On admet que X suit une loi normale de paramètres $μ=200$ et $σ=5$.

  1. On prélève une boîte au hasard. Quelle est la probabilité que la boîte soit conforme?
  2. L’entreprise ne proposera à la vente que les boîtes conformes.
    Combien de boîtes conformes peut-on espérer avoir, en moyenne, dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard?
    La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
  3. Il est possible de régler le robot pour ajuster la valeur de $σ$.
    Déterminer, arrondi à l'unité près, la valeur de $σ$ pour que la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit conforme vaille approximativement 0,95.

Partie 2
On admet que Z suit une loi uniforme sur l'intervalle $[45;61]$.

  1. Quelle est la probabilité que le temps de préchauffage du robot dépasse 50 secondes?
  2. Quel est le temps moyen de préchauffage du robot?

Partie 3
Le robot a été réglé pour que $20%$ des boîtes contiennent un cadeau.
La production de la journée s'élève à 20000 boîtes.
On prélève 60 boîtes au hasard dans la production de la journée et on constate que 19 contiennent un cadeau.

  1. Déterminer un intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de $95%$ de la fréquence F des boîtes contenant un cadeau dans un échantillon de 60 boîtes.
  2. Expliquer pourquoi on peut affirmer, au seuil de confiance de $95%$, que le robot n'est pas correctement programmé.
  3. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, du nombre de boîtes contenant un cadeau dans la production de la journée.
Solution...
Corrigé
Un exercice de bac très complet!

Partie 1

  1. Clique ICI pour revoir les calculs sur les lois normales.
    On suppose que $X=N(200;5^2)$. On cherche: $p(194≤X≤206)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(194≤X≤206)≈0,770$.

  2. Clique ICI pour revoir les lois binomiales.
    Soit Y le nombre de boîtes conformes dans l'échantillon de 500 boîtes.
    La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
    Les tirages sont alors indépendants. L'expérience que l'on répète a 2 issues: soit la boîte est conforme (il s'agit d'un succès), soit elle ne l'est pas (il s'agit d'un échec).
    Et on a vu à la question précédente que la probabilité de succès vaut environ 0,770.
    Par conséquent, la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p≈0,770$.
    Son espérance est $E=np≈500×0,770≈385$.
    Donc on espérer avoir 385 boîtes conformes dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard ( c'est le nombre moyen de boîtes conformes par échantillon sur un très grand nombre d'échantillons)

  3. On suppose que $X=N(200;σ^2)$. On cherche $σ$ tel que $p(194≤X≤206)≈0,95$.
    Par essais successifs à la calculatrice, on obtient: $σ≈3$.

    La probabilité de 0,95 est particulière et l'on peut retrouver la valeur de $σ$ autrement!
    Pour $X=N(200;σ^2)$, chacun sait que: $p(200-2σ≤X≤200+2σ)≈0,95$.
    Or on veut que $p(194≤X≤206)≈0,95$.
    Il est alors évident que $σ≈3$ convient.

Partie 2

  1. Clique ICI pour revoir les lois uniformes.
    Z suit une loi uniforme sur l'intervalle [45;61]. Or la probabilité que Z soit dans un intervalle est proportionnelle à la longueur de l'intervalle.
    D'où, directement: $p(50≤Z≤61) ={61-50}/{61-45}=0,6875≈0,688$

    autre méthode (savante): Z suit une loi uniforme.
    L'intervalle étant [45;61], sa densité $f$ est telle que $f(x)={1}/{61-45}={1}/{16}=0,0625$.
    On cherche: $$p(50≤Z≤61)=∫_{50}^{61} f(x)dx=∫_{50}^{61} 0,0625dx=0,0625∫_{50}^{61} 1dx=0,0625[x]_{50}^{61}=0,0625×(61-50)$$
    Soit: $p(50≤Z≤61)=0,6875≈0,688$

  2. On cherche l'espérance de Z, qui vaut: $m={61+45}/{2}=53$.
    Le temps moyen de préchauffage du robot est de 53 secondes.

Partie 3
Avec les notations usuelles, on pose: $n=60$, $p=0,2$ et $f={19}/{60}≈0,317$.
On rappelle que $n$ et $f$ sont concrets, et liés à l'échantillon.
Par contre, $p$ est souvent plus théorique, et lié à l'ensemble de la population.

  1. Clique ICI pour revoir le cours sur l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $np=12$ et $n(1-p)=48$; et par là: $np≥5$ et $n(1-p)≥5$.
    Les conditions pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ sont donc réunies.
    $p-1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,2-1,96{√{0,2×0,8}}/{√{60}}≈0,099$ .
    $p+1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,2+1,96{√{0,2×0,8}}/{√{60}}≈0,301$ .
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ est $I≈[0,099;0,301]$.

  2. Clique ICI pour revoir le cours sur la prise de décision.
    On se demande si l'hypothèse $p=0,2$ est valide.
    Or, la fréquence $f$ n'est pas dans $I$.
    Par conséquent, l'hypothèse est rejetée.
    Au seuil de confiance de $95%$, le robot n'est pas correctement programmé.
  3. Corrigé

    Clique ICI pour revoir le cours sur l'estimation.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $nf=19$ et $n(1-f)=41$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
    $f-{1}/{√{n}}≈0,317-{1}/{√{60}}≈0,188$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}≈0,317+{1}/{√{60}}≈0,446$ (par excès).
    L'intervalle de confiance de la vraie valeur de $p$, au niveau de confiance de $95\%$, vaut environ $[0,188;0,446]$.
    Or la production de la journée s'élève à 20000 boîtes.
    Et comme $20000×0,188≈3760$ et $20000×0,446≈8920$, l'intervalle de confiance du nombre de boîtes contenant un cadeau dans la production de la journée, au niveau de confiance de $95\%$, vaut environ $[3760;8920]$.

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