Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fluctuation et estimation

A SAVOIR: le cours sur fluctuation et estimation

Exercice 5

On considère que 7% de la population mondiale souffre de diabète.
On se demande si le taux est le même sur l'île Maurice.
On sait que la population de l'île Maurice s'élève à 1200000 habitants. Deux études sont faites sur un échantillon aléatoire d'habitants de cette île.

Etude 1
L'échantillon se compose de 250 personnes. Parmi elles, 37 sont atteintes de diabète.

Etude 2
L'échantillon se compose de 31 personnes. Parmi elles, 6 sont atteintes de diabète.

  1. Montrer que l'étude 1 permet de prouver, avec un niveau de certitude proche de $95\%$, que le taux de diabétiques sur l'île Maurice n'est pas de 7%.

  2. Montrer que l'étude 2 permet d'aboutir à la même conclusion que l'étude 1.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte lors de la notation

  3. En se basant sur l'étude 1, estimer le taux de la population de l'île Maurice soufffrant de diabète.

  4. Donner une estimation, au niveau de confiance de $95\%$, du nombre de diabétiques parmi les habitants de l'île Maurice.

Solution...
Corrigé
  1. Clique ICI pour revoir le cours sur l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    Clique ICI pour revoir le cours sur la prise de décision.

    On fait l'hypothèse que 7% de la population de l'île Maurice souffre de diabète.
    On se demande si cette hypothèse est valide.
    On va donc utiliser un intervalle de fluctuation de la fréquence F de diabétiques dans un échantillon donné.

    Avec les notations habituelles, on obtient: $n=250$, $p=0,07$, et $f={37}/{250}=0,148$.
    On rappelle que $n$ et $f$ se réfèrent à l'échantillon, alors que $p$ concerne l'ensemble de la population.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $np=17,5$ et $n(1-p)=232,58$; et par là: $np≥5$ et $n(1-p)≥5$.
    Les conditions pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ sont donc réunies.
    $p-1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,07-1,96{√{0,07×0,93}}/{√{250}}≈0,038$ .
    $p+1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,07+1,96{√{0,07×0,93}}/{√{250}}≈0,102$ .
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ est $I≈[0,038;0,102]$.
    Or, la fréquence $f$ n'est pas dans $I$.
    Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle $p=0,07$ est rejetée.
    Au seuil de confiance de $95%$, le taux de prévalence du diabète sur l'île Maurice n'est pas de 7%.

    Remarque: on ne pouvait pas utiliser l'intervalle de fluctuation vu en seconde $[p-{1}/{√{n}};p+{1}/{√{n}}]$, car la condition "$p$ est comprise entre 0,2 et 0,8" n'est pas remplie.

  2. Avec les notations habituelles, on obtient: $n=31$, $p=0,07$, et $f={6}/{31}≈0,194$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $np=2,17$ ; et par là: $np$<$5$, ce qui n'autorise pas l'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$.
    On ne peut pas non plus utiliser l'intervalle de fluctuation vu en seconde $[p-{1}/{√{n}};p+{1}/{√{n}}]$, car la condtion "$p$ est comprise entre 0,2 et 0,8" n'est pas remplie.
    On définit alors la variable aléatoire X donnant le nombre de personnes diabétiques dans un échantillon de 31 personnes.
    On va chercher des nombres $a$ et $b$ tels que $p(a≤X≤b)$ vaille au moins 0,95.

    Clique ICI pour revoir un exemple du cours similaire.
    X est une binomiale de paramètres $n=31$ et $p=0,07$.
    On va alors chercher le plus petit entier $a$ tel que $p(X≤ a)\text">"0,025$, et le plus petit entier $b$ tel que $p(X≤ b)≥0,975$.
    A la calculatrice: $p(0≤ X≤0)≈0,1054$. Donc $a=0$.
    A la calculatrice: $p(0≤ X≤4)≈0,9378$, $p(0≤ X≤5)≈0,9810$. Donc $b=5$.
    $p(0≤X≤5)$ vaut au moins 0,95.
    Or $X=6$. Cette valeur n'est pas comprise dans $[0;5]$. Donc on peut rejeter l'hypothèse selon laquelle $p=0,07$ ( le risque de se tromper est inférieur à $5\%$).

  3. Avec les notations usuelles, on pose: $n=250$, $f=0,148$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $nf=37$ et $n(1-f)=213$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
    $f-{1}/{√{n}}=0,148-{1}/{√{250}}≈0,084$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}=0,148+{1}/{√{250}}≈0,212$ (par excès).
    L'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,084;0,212]$

  4. L'intervalle de confiance ci-dessus nous donne des nombres d'habitants égaux à: $0,084×1200000=100800$ et $0,212×1200000=254400$.
    On peut donc estimer, au niveau de confiance de $95\%$, que le nombre d'habitants de l'île Maurice qui souffrent de diabète est compris entre 100800 et 245400.

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