Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fluctuation et estimation

A SAVOIR: le cours sur fluctuation et estimation

Exercice 6

Une usine possède deux chaînes de fabrication d'un modèle de téléphone portable.
1. L'ingénieur de production prélève 500 téléphones sur la chaîne A et constate que 39 présentent un léger défaut d'ajustement de la coque.
Il cherche à évaluer la proportion $p$ de téléphones présentant ce défaut parmi l'ensemble de la production de cette chaîne A.
Que peut-il en déduire?

2. Un technicien lui affirme que, sur la chaîne B, $3\%$ des téléphones fabriqués présentent ce défaut d'ajustement de la coque.
L'ingénieur veut en avoir le coeur net.
Il prélève alors 500 téléphones sur la chaîne B et il constate que 23 présentent un léger défaut d'ajustement de la coque.
Que peut-il en déduire?

Solution...
Corrigé

1. Pour la chaîne A.
Avec les notations usuelles, on pose: $n=500$, $f={39}/{500}=0,078$.
L'ingénieur cherche à estimer la valeur de $p$.
Clique ICI pour revoir le cours sur l'estimation.
On a: $n≥30$.
De plus: $nf=39$ et $n(1-f)=461$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
$f-{1}/{√{n}}=0,078-{1}/{√{500}}≈0,033$ (par défaut).
$f+{1}/{√{n}}=0,078+{1}/{√{500}}≈0,123$ (par excès).
L'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,033;0,123]$

2. Pour la chaîne B.
Avec les notations habituelles, on obtient: $n=500$, $p=0,03$, et $f={23}/{500}=0,046$.
On rappelle que $n$ et $f$ se réfèrent à l'échantillon, alors que $p$ concerne l'ensemble de la population.
L'ingénieur se demande si l'hypothèse selon laquelle $p=0,03$ est valide.
Clique ICI pour revoir le cours sur la prise de décision.
On a: $n≥30$.
De plus: $np=15$ et $n(1-p)=485$; et par là: $np≥5$ et $n(1-p)≥5$.
Les conditions pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ sont donc réunies.
$p-1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,03-1,96{√{0,03×0,97}}/{√{500}}≈0,015$ .
$p+1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,03+1,96{√{0,03×0,97}}/{√{500}}≈0,045$ .
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ est $I≈[0,015;0,045]$.
Or, la fréquence $f$ n'est pas dans $I$.
Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle $p=0,03$ est rejetée (mais le risque de la rejeter à tort est d'environ $5%$).
L'ingénieur peut donc en déduire que le taux de téléphones présentant ce défaut d'ajustement de la coque n'est pas de 3% (la probabilité qu'il se trompe est d'environ 0,05).

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