Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Intégrales

A SAVOIR: le cours sur les intégrales

Exercice 3

Donner la valeur exacte de

  1. $$A=∫_1^3 f(t)dt$$ où $f$ est définie par $$f(x)=e^x-x^2+2x-8$$ sur $ℝ$.
  2. $$B=∫_{-2}^3 dt$$
  3. $$C=∫_0^1 (3t^2e^{t^3+4}) dt$$
  4. $$D=∫_1^2 (6/t+3t+4) dt$$
  5. $$E=∫_{0,5}^1 3/{t^2} dt$$

Solution...

Corrigé

  1. $f$ admet pour primitive $F(x)=e^x-x^3/3+x^2-8x$.
    Donc: $$A=∫_1^3 f(t)dt=[F(x)]_1^3=F(3)-F(1)=(e^3-3^3/3+3^2-8×3)-(e^1-1^3/3+1^2-8×1)$$
    Soit: $$A=(e^3-9+9-24)-(e-1/3+1-8)=e^3-24-e+1/3+7=e^3-e-50/3$$

  2. $$B=∫_{-2}^3 dt=∫_{-2}^3 1 dt=[t]_{-2}^3=3-(-2)=5$$

  3. On sait que $u'e ^u$ a pour primitive $e^u$. Ici: $u=t^3+4$ et $u'=3t^2+0=3t^2$
    D'où: $$C=∫_0^1 (3t^2e^{t^3+4}) dt=[e^{t^3+4}]_0^1=e^{1^3+4}-e^{0^3+4}=e^5-e^4$$

  4. $$D=∫_1^2 (6/t+3t+4) dt=∫_1^2 (6 1/t+3t+4) dt=[6 \ln t +3 {t^2}/2+4t]_1^2$$
    Soit: $$D=(6 \ln 2 +3 {2^2}/2+4×2)-(6 \ln 1 +3 {1^2}/2+4×1)=6\ln 2+6+8-(6×0+1,5+4)$$
    Soit: $$D=6\ln2+14-5,5=6\ln2+8,5$$

  5. $$E=∫_{0,5}^1 3/{t^2} dt=∫_{0,5}^1 3 1/{t^2} dt=[3 {-1}/{t}]_{0,5}^1=[{-3}/{t}]_{0,5}^1={-3}/1-{-3}/{0,5}=-3+6=3$$

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