Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Limites de fonctions

A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions

Exercice 2

Un exercice classique sur les calculs de limites.

  1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+x+{19}/{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ et $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={x-1}/{x^2+7}+5$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
    En déduire une éventuelle asymptote de la courbe $\C_f$.
  3. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=√{x^2-x+9}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
Solution...
Corrigé
  1. $f(x)=x^2+x+{19}/{x}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$, $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, et $\lim↙{x→+∞}{19}/{x}=0$,
    on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).

    On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $x^2+x$
    .
    On a: $x^2+x=x^2(1+{1}/{x})$.
    Or $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$, et $\lim↙{x→-∞}1+{1}/{x}=1+0=1$.
    Donc $\lim↙{x→-∞}x^2+x=+∞$ (limite d'un produit).
    Par ailleurs $\lim↙{x→-∞}{19}/{x}=0$
    Donc $\lim↙{x→-∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).

  2. $f(x)={x-1}/{x^2+7}+5$.
    On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x-1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x^2+7=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient et on simplifie.

    $f(x)={x(1-{1}/{x})}/{x^2(1+{7}/{x^2})}+5={1}/{x}{1-{1}/{x}}/{1+{7}/{x^2}}+5$.
    $\lim↙{x→+∞}f(x)=0×{1-0}/{1+0}+5=5$ (opérations sur les limites).
    Donc la droite horizontale d'équation $y=5$ est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.

  3. $f(x)=√{x^2-x+9}$
    On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $x^2-x+9$
    .
    $x^2-x+9=x^2(1-{1}/{x}+{9}/{x^2})$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}1-{1}/{x}+{9}/{x^2}=1-0+0=1$,
    on obtient: $\lim↙{x→+∞}x^2-x+9=+∞$.
    Or: $\lim↙{y→+∞}√{y}=+∞$.
    Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une composée).
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