Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Limites de fonctions

A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions

Exercice 3

Un exercice classique sur les calculs de limites.

Attention! Cet exercice utilise la fonction exponentielle.

  1. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={8}/{1+2e^{-0,04x}}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}g(x)$ et $\lim↙{x→-∞}g(x)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+1)e^{x}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ et $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
    En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_f$.
  3. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+2)e^{-x}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ et $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
    En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_f$.
Solution...
Corrigé
  1. $g(x)={8}/{1+2e^{-0,04x}}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}-0,04x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^y=0$,
    on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-0,04x}=0$ (limite d'une composée).
    D'où $\lim↙{x→+∞}g(x)={8}/{1+2×0}=8$.

    Comme $\lim↙{x→-∞}-0,04x=+∞$ et $\lim↙{y→+∞}e^y=+∞$,
    on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-0,04x}=+∞$ (limite d'une composée).
    D'où $\lim↙{x→+∞}1+2e^{-0,04x}=+∞$.
    Et par là $\lim↙{x→-∞}g(x)=0$ (limite d'un quotient).

  2. $f(x)=(x+1)e^{x}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}x+1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$,
    on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.

    On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}x+1=-∞$ et $\lim↙{x→-∞}e^x=0$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On développe alors le produit $f(x)$.

    $f(x)=xe^x+e^x$.
    Comme $\lim↙{x→-∞}xe^x=0$ et $\lim↙{x→-∞}e^x=0$,
    on obtient $\lim↙{x→-∞}f(x)=0$ (limite d'une somme).
    Donc la droite horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $-∞$.

  3. $f(x)=(x+2)e^{-x}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^{y}=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-x}=0$.
    On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x+2=+∞$. Comme $\lim↙{x→+∞}e^{-x}=0$, cela conduit à une forme indéterminée.
    On développe alors le produit $f(x)$.

    $f(x)=xe^{-x}+2e^{-x}=-(-xe^{-x})+2e^{-x}$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}ye^y=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}-xe^{-x}=0$.
    Donc $\lim↙{x→+∞}f(x)=-0+2×0=0$.
    Donc la droite horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.

    Comme $\lim↙{x→-∞}-x=+∞$ et $\lim↙{y→+∞}e^{y}=+∞$, on obtient $\lim↙{x→-∞}e^{-x}=+∞$.
    Par ailleurs: $\lim↙{x→-∞}x+2=-∞$.
    D'où: $\lim↙{x→-∞}f(x)=-∞$ (limite d'un produit).
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