Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

A SAVOIR: le cours sur la fonction ln

Exercice 4

  1. Résoudre l'équation $\ln(-3x+1)=6$.

  2. Résoudre l'inéquation $\ln(x+3)+1≤3$.

  3. Résoudre l'équation $\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln(2x+10)$.

  4. Résoudre l'équation $\ln(x+2)(x-1)=\ln(2x+10)$.

Solution...

Corrigé
  1. On doit avoir $-3x+1\text">"0$, soit $-3x\text">"-1$, soit $x\text"<"{-1}/{-3}$, soit $x\text"<"{1}/{3}$. Donc $\D_E=]-∞;{1}/{3}[$.
    $\ln(-3x+1)=6⇔e^{\ln(-3x+1)}=e^6⇔-3x+1=e^6⇔-3x=e^6-1⇔x={e^6-1}/{-3}={1-e^6}/{3}$.
    Donc $\S=\{{1-e^6}/{3}\}$.   Notons que ${1-e^6}/{3}≈-134$ est bien dans $\D_E$.

  2. On doit avoir $x+3\text">"0$, soit $x\text">"-3$. Donc $\D_E=]-3;+∞[$.
    $\ln(x+3)+1≤3⇔\ln(x+3)≤3-1⇔\ln(x+3)≤2⇔e^{\ln(x+3)}≤e^2⇔x+3≤e^2⇔x≤e^2-3$
    Donc $\S=]-3;e^2-3[$.   Notons que $e^2-3≈4,39$.

  3. On doit avoir $x+2\text">"0$, soit $x\text">"-2$.
    On doit avoir $x-1\text">"0$, soit $x\text">"1$.
    On doit avoir $2x+10\text">"0$, soit $x\text">"-5$.
    Donc, finalement: $\D_E=]1;+∞[$.
    (E)$⇔\ln(x+2)(x-1)=\ln(2x+10)⇔(x+2)(x-1)=2x+10⇔x^2-x-12=0$.
    C'est un trinôme, de discriminant $49$, admettant 2 racines $-3$ et $4$.
    La solution $-3$ est à rejeter car elle n'appartient pas à $\D_E$. Donc $\S=\{4\}$.

  4. On doit avoir $(x+2)(x-1)\text">"0$.
    Le membre de gauche est un trinôme ($x^2+x-2$) de racines $-2$ et $1$, à coefficient dominant $1$ strictement positif.
    Il est donc strictement positif sur $]-∞;-2[$ dune part, et sur $]1;+∞[$ d'autre part.
    Par ailleurs, on doit aussi avoir $2x+10\text">"0$, soit $x\text">"-5$.
    Donc, finalement: $\D_E=]-5;-2[∪]1;+∞[$.
    (E)$⇔(x+2)(x-1)=2x+10⇔x^2-x-12=0$.
    C'est un trinôme, de discriminant $49$, admettant 2 racines $-3$ et $4$.
    Ces 2 valeurs appartiennent à $\D_E$. Donc $\S=\{-3;4\}$.
    Comparerez cette question à la précédente; cela fait réfléchir!

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