Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

A SAVOIR: le cours sur la fonction ln

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, dire si la suite $(u_n)$ est géométrique ou arithmétique. Justifier. Donner la raison de la suite.

  1. $∀x∈\N$, $\ln u_{n+1}=\ln 10+\ln u_n$
  2. $∀x∈\N$, $u_n=8,1e^{-n\ln 3}$
  3. $∀x∈\N$, $e^{ u_{n+1}}=2e^ {u_n}$
  4. $∀x∈\N$, $u_n=\ln(3,2e^{2,5n})$

Solution...

Corrigé

  1. Soit $n∈\N$, $\ln u_{n+1}=\ln 10+\ln u_n⇔\ln u_{n+1}=\ln(10×u_n)⇔u_{n+1}=10×u_n$.
    Donc: $∀x∈\N$, $u_{n+1}=10u_n$.
    Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 10.
  2. Soit $n∈\N$, $u_n=8,1e^{-n\ln 3}=8,1(e^{\ln3}) ^{-n}=8,1×3^{-n}=8,1{1}/{3^n}=8,1({1}/{3})^n$.
    Donc: $∀x∈\N$, $u_n=8,1({1}/{3})^n$.
    Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison ${1}/{3}$.
  3. Soit $n∈\N$, $e^{ u_{n+1}}=2e^ {u_n}⇔e^{ u_{n+1}}=e^{\ln2}e^{u_n}⇔e^{ u_{n+1}}=e^{\ln2+u_n}$.
    Donc: $∀x∈\N$, $u_{n+1}=u_n+\ln2$.
    Donc la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $\ln2$.
  4. Soit $n∈\N$, $u_n=\ln(3,2e^{2,5n})=\ln3,2+\ln(e^{2,5n})=\ln3,2+2,5n$ $∀x∈\N$, $u_n=2,5n+\ln 3,2$.
    Donc la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison 2,5.

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