Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion; l'interrogateur vous guidera.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 1


Exercice 1

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe $z$ vérifié l'égalité $z-i=2{z}↖{−}+1$.


Exercice 2

Soit $f$ définie sur $\D_f$ par $f(x)=1-\ln (2x+1)$.
Quel est le domaine de définition $\D_f$ de la fonction $f$?
Résoudre l'inéquation $f(x)≥5$.
facultatif: Déterminer le coefficient directeur de la tangente $t$ à $\C_f$ en 1.

Solution...
Corrigé

Exercice 1

Ecrivons $z$ sous forme algébrique: $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
On a alors: ${z}↖{−}=x-iy$.
Donc: $z-i=2{z}↖{−}+1$ $⇔$ $x+iy-i=2(x-iy)+1$ $⇔$ $x+(y-1)i=(2x+1)-2iy$.
Par unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire d'un complexe, on obtient:
$x=2x+1$ et $y-1=-2y$.
Soit: $-1=x$ et $y={1}/{3}$.
Par conséquent, l'ensemble cherché se réduit au point d'affixe $z=-1+{1}/{3}i$.


Exercice 2

$f(x)$ est défini si et seulement si $2x+1\text">"0$, c'est à dire pour $x\text">"-0,5$.
Donc $\D_f=]-0,5;+∞[$.

Soit (E) l'inéquation $f(x)≥5$.
Le domaine d'étude est $\D_f$.
(E) $⇔$ $-\ln (2x+1)≥5-1$ $⇔$ $-\ln (2x+1)≥4$ $⇔$ $\ln (2x+1)≤-4$ $⇔$ $e^{\ln (2x+1)}≤e^{-4}$
Soit: (E) $⇔$ $2x+1≤e^{-4}$ $⇔$ $x≤{e^{-4}-1}/{2}$.
Notons que ${e^{-4}-1}/{2}≈-0,49$, et par là: $0,5\text"<"{e^{-4}-1}/{2}$.
Donc $\S=]-0,5;{e^{-4}-1}/{2}]$.

On cherche $f\,'(1)$.
Ici, $f=1-\ln u$ avec $u=2x+1$. Donc $f\,'=0-{u'}/{u}$ avec $u'=2$.
Donc $f\,'(x)=-{2}/{2x+1}$.
Et par là $f\,'(1)=-{2}/{2×1+1}={-2}/{3}$.
$t$ a pour coefficient directeur ${-2}/{3}$.

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