Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion; l'interrogateur vous guidera.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 2


Exercice 1

L'espace est muni d'un repère orthonormal.
Soit le point A de coordonnées (1 ; -1 ; 2).
Soit le plan P d'équation cartésienne $3x-y+2=0$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $d$ orthogonale à P et passant par A.
Cette droite passe-t-elle par B(7 ; -3 ; 2)?


Exercice 2

Soit $f$ définie sur $[1;+∞[$ par $f(x)=x^2e^{2x+1}$.
Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[1;+∞[$.
Montrer que l'équation $f(x)=22$ admet une solution unique sur $[1;+∞[$.

Solution...
Corrigé

Exercice 1

P, d'équation cartésienne $3x-y+2=0$, admet pour vecteur normal ${n}↖{→}(\,3\,;\,-1\,;\,0\,)$.
Comme $d$ est orthogonale à P, elle admet ${n}↖{→}$ pour vecteur directeur.
Et comme $d$ passe par A(1 ; -1 ; 2), elle a pour équation paramétrique: $\{\table x=1+3×t;y=-1+(-1)×t; z=2+0×t$
Soit: $\{\table x=1+3t;y=-1-t; z=2$

$d$ passe par B(7 ; -3 ; 2) si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\{\table 7=1+3t;-3=-1-t; 2=2$    (1)
(1) $ ⇔$ $\{\table 2=t;t=2; 2=2$
(1) admet une solution ($t=2$), et par là, $d$ passe par B.


Exercice 2

On pose $f=uv$ avec $u=x^2$ et $v=e^{2x+1}$.
D'où $f\,'=u'v+uv'$ avec $u'=2x$ et $v'=2e^{2x+1}$.
Donc $f\,'(x)=2x×e^{2x+1}+x^2×2e^{2x+1}=e^{2x+1}(2x+2x^2)=2x(1+x)e^{2x+1}$.

$f\,'$ est un produit de 3 facteurs.
$2x$ s'annule en 0 et est strictement positif pour $x\text">"0$.
$1+x$ s'annule en -1 et est strictement positif pour $x\text">"-1$.
$e^{2x+1}$ reste strictement positif pour tout $x$.
Donc, sur $[1;+∞[$, $f\,'$ est strictement positive, et par là, $f$ y est strictement croissante.

Par ailleurs: $f(1)=e^3$.

Reste à trouver $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
On a: $\lim↙{x→+∞}2x+1=+∞$. Or $\lim↙{y→+∞}e^y=+∞$. Donc $\lim↙{x→+∞}e^{2x+1}=+∞$.
Par ailleurs $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$.
Donc finalement: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.
D'où le tableau de variation de $f$.
fig1
D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;+∞[$.
Or, d'une part: 22 est strictement supérieur à $f(1)=e^3≈20$,
et d'autre part: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=22$ admet une unique solution sur $[1;+∞[$.

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