Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion; l'interrogateur vous guidera.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 3


Exercice 1

Soit X la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $λ$ (avec $λ$>$0$).
Soit $E(X)$ l'espérance de X.

  1. Soit $t$ un réel positif.
    Exprimer $p(t≤X≤2t)$ en fonction de $t$.
    Facultatif: Déterminer $t$ tel que $p(t≤X≤2t)=0,5$.
  2. Montrer que $p(X$>$E(X))$ ne dépend pas de la valeur de $λ$.
  3. Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $p(t≤X)\text">"0,5$.

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={2-\cos x}/{x}$ pour tout réel $x$.
a. Quel est le signe de $g$?
b. Montrer que $\lim↙{x→+∞}g(x)=0$.
c. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln{{2-\cos x}/{x}}$ pour tout réel $x$ strictement positif.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.

Solution...
Corrigé

Exercice 1

  1. $p(t≤X≤2t)=e^{-λt}-e^{-λ2t}$.

    Facultatif: $p(t≤X≤2t)=0,5$ $⇔$ $e^{-λt}-e^{-λ2t}=0,5$ $⇔$ $0=e^{-λ2t}-e^{-λt}+0,5$
    Soit: $p(t≤X≤2t)=0,5$ $⇔$ $(e^{-λt})^2-e^{-λt}+0,5=0$
    Posons $X=e^{-λt}$. On résout alors: $X^2-X+0,5=0$.
    Le membre de gauche est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=0,5$.
    $\Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×0,5=1-2=-1$.
    Le discriminant est strictement négatif. Donc le trinôme n'a pas de racine réelle.
    Donc l'équation $p(t≤X≤2t)=0,5$ n'a pas de solution.

  2. On a: $p(X$>$E(X))=e^{-λE(X)$.
    Or: $E(X)={1}/{λ}$.
    Donc: $p(X$>$E(X))=e^{-λ{1}/{λ}}=e^{-1}={1}/{e}$.
    Ce résultat ne dépend pas de la valeur de $λ$.

  3. Le domaine d'étude est $[0;+\∞[$.
    $e^{-λt}\text">"0,5$ $⇔$ $\ln e^{-λt}\text">"\ln {1}/{2}$ $⇔$ $-λt \text">"-\ln 2$ $⇔$ $ t \text"<"{-\ln 2}/{-λ}$ $⇔$ $ t \text"<"{\ln 2}/{λ}$.
    Donc $\S=[0;{\ln 2}/{λ}[$

Exercice 2

a. Etudions le signe du numérateur.
On a: $\cos x≤1$, et donc: $-\cos x≥-1$, et par là: $2-\cos x≥2-1$.
Soit: $2-\cos x≥1$, et donc: $2-\cos x\text">"0$.
Donc $g$ est du signe du dénominateur $x$.
C'est à dire que $g$ est strictement négative pour $x$ strictement négatif, et strictement positive pour $x$ strictement positif.
Notons que $g$ n'est pas définie en 0.

b. Le numérateur n'a pas de limite. Tentons donc d'encadrer $g$.
On a: $-1≤\cos x≤1$, et par là: $1≥-\cos x≥-1$, et donc: $3≥2-\cos x≥1$.
Or, on cherche une limite en $+\∞$. On considère donc un $x$>$0$.
En divisant par $x$, on obtient alors: ${3}/{x}≥{2-\cos x}/{x}≥{1}/{x}$.
C'est à dire: ${3}/{x}≥g(x)≥{1}/{x}$.
Or: $\lim↙{x→+∞}{3}/{x}=0$ et $\lim↙{x→+∞}{1}/{x}=0$.
Donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient: $\lim↙{x→+∞}g(x)=0$.

c. On a: $f(x)=\ln(g(x))$.
Or: $\lim↙{x→+∞}g(x)=0$, et $\lim↙{y→0}\ln y=-\∞$.
Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=-\∞$

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