Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours. Si vous séchez, n'hésitez pas à proposer des pistes de réflexion; l'interrogateur vous guidera.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 4


Exercice 1

Soit $λ$ un réel strictement positif.

  1. Résoudre sur $[0;+\∞[$ l'inéquation: $2e^{-λt}-1\text">"0$ (1).
  2. On pose: $f(t)= e^{-λt}-e^{-λ2t}$.
    Dériver $f$ et montrer que $f\,'(t)=λe^{-λt}(2e^{-λt}-1)$.
    Montrer que $f$ admet un maximum.
    Pour quelle valeur $t_d$ de $t$ ce maximum est_il atteint?

Exercice 2

Une machine génère 6 valeurs entières aléatoires comprises (au sens large) entre 11 et 30.
Soit X le nombre de valeurs strictement supérieures à 25.
Déterminer $p(X>4)$ (arrondie à 0,001 près).

Solution...
Corrigé

Exercice 1

  1. Le domaine d'étude est $[0;+\∞[$.
    (1) $⇔$ $2e^{-λt}-1\text">"0$ $⇔$ $e^{-λt}\text">"{1}/{2}$
    Soit: (1) $⇔$ $\ln(e^{-λt})\text">"\ln{1}/{2}$ $⇔$ $-λt\text">"-\ln 2$ $⇔$ $t\text"<"{-\ln2}/{-λ}$
    Noter le changement de sens de l'inégalité car $-λ\text"<"0$.
    On a donc obtenu: (1) $⇔$ $t\text"<"{\ln2}/{λ}$.
    Donc $\S=[0; {\ln2}/{λ}[$.

  2. On a: $f(t)= e^{-λt}-e^{-λ2t}$.
    On rappelle que $e^u$ a pour dérivée $u'e^u$.
    Donc: $f\,'(t)=(-λ)e^{-λt}-(-λ2)e^{-λ2t}$.
    Pour déterminer le signe de cette expression, nous la factorisons.
    $f\,'(t)=-λe^{-λt}+2λe^{-λt}e^{-λt}=λe^{-λt}(-1+2e^{-λt})=λe^{-λt}(2e^{-λt}-1)$.

    On a: $λ\text">"0$ et $e^{-λt}\text">"0$. Donc $f\,'(t)$ est du signe de $2e^{-λt}-1$.
    Or, d'après le 1., on a: $2e^{-λt}-1\text">"0$ $⇔$ $t\text"<"{\ln2}/{λ}$.

    Donc $f\,'$ est strictement positive sur $[0; {\ln2}/{λ}[$, et $f$ y est donc strictement croissante.
    De même, on montrerait que $f\,'$ est strictement négative sur $]{\ln2}/{λ};+\∞[$, et $f$ y est donc strictement décroissante.
    Et pour finir, $f\,'({\ln2}/{λ})=0$, et $\C_f$ y admet donc une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

    Finalement, $f\'$ s'annule en changeant de signe en $t_d={\ln2}/{λ}$. Elle y admet donc un extremum, et d'après ce qui précède, cet extremum est un maximum.

Exercice 2

Les valeurs possibles sont 11, 12, ... ,29, 30. Elles sont au nombre de 20.
Les valeurs strictement supérieures à 25 sont 26, 27, 28, 29, 30. Elles sont au nombre de 5.
La probabilité qu'une valeur soit strictement supérieures à 25 vaut donc ${5}/{20}=0,25$.
X suit une loi binomiale de paramètres 6 et 0,25.
On cherche donc $p(X>4)=1-p(X≤4)≈1-0,995≈0,005$ (à la calculatrice).

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