Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Le produit scalaire et ses applications

A SAVOIR: le cours sur le produit scalaire

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal.
Soit P le plan d'équation $-3x+3y-5z+3=0$.
Soit Q le plan passant par B(1,2,3) de vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( 1 ; 0 ; 1 ) et ${v}↖{→}$( 2 ; 3 ; 0 ).
Soit $d$ la droite passant par C(-12,-13,0) et de vecteur directeur ${w}↖{→}$( 19 ; 24 ; 3 ).
1. Montrer que $3x-2y-3z+10=0$ est une équation cartésienne de Q.
2. Montrer que P et Q sont perpendiculaires.
3. Montrer que P et Q se coupent selon la droite $d$.
4. Déterminer une équation cartésienne du plan R passant par C et orthogonal à $d$.

Solution...
Corrigé

L'espace est muni d'un repère orthonormal, ce qui autorise tous calculs de distances, normes ou produits scalaires.
1. Clique ICI pour revoir quelques notions sur les équations cartésiennes de plan.

Méthode 1:
Clique ICI pour revoir quelques notions sur les représentations paramétriques (de droites et de plans).
Q passe par B(1,2,3) et a pour vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( 1 ; 0 ; 1 ) et ${v}↖{→}$( 2 ; 3 ; 0 ).
Donc Q admet pour représentation paramétrique $\{\table x=1+t+2t'; y=2+3t'; z=3+t$
Or $\{\table x=1+t+2t'; y=2+3t';z=3+t$ $⇔$ $\{\table x=1+t+2t'; {y-2}/{3}=t';z-3=t$ $⇔$ $\{\table x=1+z-3+{2(y-2)}/{3}; y=2+3t';z=3+t$
La première ligne équivaut à: $3x=3+3z-9+2y-4$.
soit: $3x-2y-3z+10=0$, qui est donc bien une équation cartésienne de Q.

Méthode 2:
Appelons Q' le plan d'équation cartésienne $3x-2y-3z+10=0$, et montrons que Q et Q' sont confondus.
Q' a pour vecteur normal ${n'}↖{→}$( 3 ; -2 ; -3 ).
Par ailleurs, Q a pour vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( 1 ; 0 ; 1 ) et ${v}↖{→}$( 2 ; 3 ; 0 ).
Or ${u}↖{→}.{n'}↖{→}=1×3+0×(-2)+1×(-3)=0$ et ${v}↖{→}.{n'}↖{→}=2×3+3×(-2)+0×(-3)=0$.
Donc ${n'}↖{→}$ est un vecteur normal au plan Q.
De plus, comme $3x_C-2y_C-3z_C+10=3×(-12)-2×(-13)-3×0+10=0$, le point C est sur Q'.
Finalement, Q' et Q ont un même vecteur normal et passent tous les deux par le même point C.
Ils sont donc confondus.
Donc $3x-2y-3z+10=0$ est bien une équation cartésienne de Q.

2. Au vu des équations cartésiennes, on en déduit que:
P admet pour vecteur normal: ${n}↖{→}$( -3 ; 3 ; -5 )
Q admet pour vecteur normal: ${n'}↖{→}$( 3 ; -2 ; -3 )
On a alors: ${n}↖{→}.{n'}↖{→}=-3×3+3×(-2)+(-5)×(-3)=-9-6+15=0$
Les vecteurs normaux sont donc orthogonaux, et par là, les plans P et Q sont perpendiculaires .

3. Les plans P et Q, orthogonaux, sont donc sécants selon une droite.
Méthode 1:
Pour montrer que P et Q se coupent selon $d$, il suffit de trouver 2 points distincts de $d$ appartiennant à la fois à P et à Q.
Considérons le point C.
$-3x_C+3y_C-5z_C+3=-3×(-12)+3×(-13)-5×0+3=0$. Donc C est sur P.
$3x_C-2y_C-3z_C+10=3×(-12)-2×(-13)-3×0+10=0$. Donc C est sur Q.
Pour trouver un second point E de $d$, il suffit de déterminer une équation paramétrique de $d$.
$d$ passant par C(-12,-13,0) et de vecteur directeur ${w}↖{→}$( 19 ; 24 ; 3 ) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=-12+19t; y=-13+24t; z=3t$
$t=1$ nous donne le point E(7;11;3) sur la droite $d$.
$-3x_E+3y_E-5z_E+3=-3×7+3×11-5×3+3=0$. Donc E est sur P.
$3x_E-2y_E-3z_E+10=3×7-2×11-3×3+10=0$. Donc E est sur Q.
Finalement, P et Q se coupent selon la droite (CE), c'est à dire $d$.

Méthode 2:
$d$ passe par C(-12,-13,0) et a pour vecteur directeur ${w}↖{→}$( 19 ; 24 ; 3 ).
Pour montrer que P et Q se coupent selon $d$, il suffit de montrer que $d$ est incluse dans chacun des 2 plans.
On a: $-3x_C+3y_C-5z_C+3=-3×(-12)+3×(-13)-5×0+3=0$. Donc C est sur P.
De plus, ${n}↖{→}.{w}↖{→}=-3×19+3×24+(-5)×3=0$, où ${n}↖{→}$ est normal à P.
Donc la droite $d$ est dans P.
$3x_C-2y_C-3z_C+10=3×(-12)-2×(-13)-3×0+10=0$. Donc C est sur Q.
De plus, ${w}↖{→}.{n'}↖{→}=19×3+24×(-2)+3×(-3)=0$, où ${n'}↖{→}$ est normal à Q.
Donc la droite $d$ est dans Q.

4. Le plan R, passant par C et orthogonal à $d$, est tel que:
$M(x;y)$ est dans R si et seulement si ${CN}↖{→}.{w}↖{→}=0$.
Soit: $(x+12)×19+(y+13)×24+z×3=0$.
Soit: $19x+24y+3z+540=0$. Ce qui est donc une équation cartésienne de R.

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