Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Le produit scalaire et ses applications

A SAVOIR: le cours sur le produit scalaire

Exercice 3

L'espace est muni du repère orthonormal (A, B, D, K).
ABCDS est une pyramide à base carrée ABCD, telle que S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 2) et C a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0).
pyramide et coordonnées

  1. Soit P le point de la droite (SB) de cote ${2}/{3}$. Construire le point P sur la figure.
  2. Soit Q le point d’intersection du plan (APD) et de la droite (SC).
    Montrer que les droites (AD) et (PQ) sont parallèles.
    Construire le point Q sur la figure.
  3. On admet que C a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0) et que P a pour coordonnées (${2}/{3}$ ; 0 ; ${2}/{3}$).
    Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SC).
    Déterminer une représentation paramétrique de la droite (PQ).
    Montrer que Q a pour coordonnées (${2}/{3}$ ; ${2}/{3}$ ; ${2}/{3}$).
  4. Sans calcul, expliquer pourquoi le trapèze APQD a pour hauteur AP.
    Montrer que l'aire $s$ du trapèze APQD vaut ${5}/{9}√{2}$.
  5. Déterminer une équation cartésienne du plan (APD), ainsi qu'une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale à ce plan et passant par S.
  6. Déterminer les coordonnées du point H, pied de la hauteur (SH) de la pyramide PQDAS issue de S.
  7. Déterminer le volume de la pyramide PQDAS.

Solution...
Corrigé

L'espace est muni d'un repère orthonormal, ce qui autorise tous calculs de distances, normes ou produits scalaires.

  1. Clique ICI pour revoir quelques notions sur les coordonnées dans l'espace.
    P est sur droite (SB). Or la droite (SB) est dans le plan (ABS). Donc le point P a pour ordonnée 0. Comme sa cote est ${2}/{3}$, il suffit de partir de A, de monter de ${2}/{3}$ selon l'axe (AS). On arrive alors à un point T sur la figure. On trace alors une parallèle à la droite (AB). Elle coupe (BS) en P.
    coordonnées dans l'espace
  2. Plutôt que de se lancer dans du calcul analytique, raisonnons en utilisant le théorème du toit!
    Clique ICI pour revoir le théorème du toit.
    Clique ICI pour revoir le cours sur l'intersection de 2 plans.
    Q est le point d’intersection du plan (APD) et de la droite (SC).
    Q appartient donc au plan (APD).
    Et il appartient aussi à la droite (SC). Et comme (SC) est clairement dans le plan (BPC), le point Q appartient donc au plan (BPC).
    Q appartient donc à la fois au plan (APD) et au plan (BPC).
    Or, P appartient aussi à ces 2 plans (c'est évident).
    Donc (APD) et (BPC) se coupent selon la droite (PQ).

    Montrons que cette droite (PQ) est parallèle à (AD).
    ABCD étant un carré, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
    Or (AD) est dans (APD), et (BC) est dans (BPC).
    Donc, d'après le théorème du toit, les plans (APD) et (BPC) se coupent selon une droite qui sera parallèle à (AD) et (BC).
    Or on a vu que cette droite est la droite (PQ).
    Donc les droites (AD) et (PQ) sont parallèles.

    Cela permet de construire le point Q.
    théorème du toit
  3. Clique ICI pour revoir quelques notions sur les représentations paramétriques (de droites et de plans).
    On obtient facilement: ${SC}↖{→}$(1 ; 1 ; -2).
    Or C a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0).
    Donc la droite (SC) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=1+t; y=1+t; z=-2t$
    Par ailleurs, P a pour coordonnées (${2}/{3}$ ; 0 ; ${2}/{3}$).
    Or (AD) et (PQ) sont parallèles, et on a facilement: ${AD}↖{→}$(0 ; 1 ; 0).
    Donc la droite (PQ) admet pour représentation paramétrique $\{\table x={2}/{3}; y=t'; z={2}/{3}$
    Les coordonnées de Q qui appartient aux 2 droites vérifient les 2 représentations paramétriques:
    Donc: $\{\table {2}/{3}=1+t; t'=1+t; {2}/{3}=-2t$
    Et par là: $\{\table -{1}/{3}=t; t'={2}/{3}; -{1}/{3}=t$
    En reportant dans la représentation paramétrique de (SC), on obtient: Q(${2}/{3}$ ; ${2}/{3}$ ; ${2}/{3}$).

  4. Comme les droites (AD) et (PQ) sont parallèles, les bases du trapèze APQD sont AD et PQ.
    Montrons que sa hauteur est AP.

    La droite (AP) appartient clairement au plan (ABK).
    Or, comme (A, ${AB}↖{→}$, ${AD}↖{→}$, ${AK}↖{→}$) est un repère orthonormal, le plan (ABK) est orthogonal à la droite (AD).
    Donc la droite (AP) est orthogonal à la droite (AD).
    Et par là, AP est bien la hauteur du trapèze APQD.

    Reste à calculer toutes ces distances pour obtenir l'aire cherchée.
    On obtient facilement : ${AD}↖{→}$(0 ; 1 ; 0), ${PQ}↖{→}$(0 ; ${2}/{3}$ ; 0), ${AP}↖{→}$(${2}/{3}$ ; 0 ;${2}/{3}$)
    D'où: $AD=√{0^2+1^2+0^2}=1$, et de même: $PQ={2}/{3}$, et $AP={2}/{3}√{2}$.
    D'où l'aire cherchée: $s ={AD+PQ}/{2}×AP={1+{2}/{3}}/{2}×{2}/{3}√{2}={{5}/{3}}/{2}×{2}/{3}√{2}={5}/{9}√{2}$

  5. (APD) passe par A(0,0,0) et a pour vecteurs directeurs ${AD}↖{→}$(0 ; 1 ; 0) et ${AP}↖{→}$(${2}/{3}$ ; 0 ;${2}/{3}$).
    Donc (APD) admet pour représentation paramétrique $\{\table x={2}/{3}t'; y=t; z={2}/{3}t'$
    Or $\{\table x={2}/{3}t'; y=t; z={2}/{3}t'$ $⇔$ $\{\table x={2}/{3}t'; y=t; {3}/{2}z=t'$ $⇔$ $\{\table x={2}/{3}×{3}/{2}z; y=t; {3}/{2}z=t'$
    La première ligne équivaut à: $x-z=0$, qui est une équation cartésienne de (APD).

    Le plan (APD) a donc pour vecteur normal ${n}↖{→}$(1 ; 0 ; -1).
    Et, comme $d$ est orthogonale à (APD), ce vecteur est un vecteur directeur de $d$.
    Or $d$ passe par S(0 ; 0 ; 2).
    Donc la droite $d$ admet pour représentation paramétrique $\{\table x=t; y=0; z=2-t$
  6. Le point H est le pied de la hauteur (SH) de la pyramide PQDAS issue de S.
    Donc H appartient au plan (APD) et à la droite orthogonale à ce plan qui passe par S, c'est à dire $d$.
    Donc, si H a pour coordonnées ($x,y,z$), on a: $x-z=0$, et de plus, il existe un réel $t$ tel que $\{\table x=t; y=0; z=2-t$
    D'où: $t-(2-t)=0$, et par là: $t=1$.
    Par conséquent: $\{\table x=1; y=0; z=1$.
    Donc H(1 ; 0 ; 1).
    Remarque: l'angle droit en H est déformé à cause de la perspective cavalière!
    vecteur normal
  7. Il est clair que la pyramide PQDAS a pour base APQD et pour hauteur HS.
    Son volume est donc: $v={1}/{3}×s×HS$
    Soit: $v={1}/{3}×{5}/{9}√{2}×√{(0-1)^2+(0-0)^2+(2-1)^2}={5}/{27}√{2}×√{2}$
    Soit: $v={10}/{27}$
    volume pyramide
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