Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonctions sinus et cosinus

A SAVOIR: le cours sur sinus et cosinus

Exercice 2

Soit $f$ définie sur $[0;π]$ par $f(x)=\sin(2x)-x$.
Soit $\C_f$ sa courbe représentative.
1. Déterminer la valeur exacte de $f(0)$, $f({π}/{6})$, $f({5π}/{6})$ et $f(π)$.
2. Montrer que $f\,'(x)=4\cos^2 x-3$, puis déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;π]$.
3. Déterminer une équation de la tangente $t$ à $\C_f$ en ${π}/{2}$.
4. Représenter graphiquement $\C_f$ et $t$.

Solution...
Corrigé

1. $f(0)=0$
$f({π}/{6})=\sin({π}/{3})-{π}/{6}={√{3}}/{2}-{π}/{6}$
$f({5π}/{6})=\sin({5π}/{3})-{5π}/{6}=\sin(-{π}/{3})-{5π}/{6}=-{√{3}}/{2}-{5π}/{6}$
$f(π)=\sin(2π)-π=-π$

2. On pose $f=g(2x+0)-x$ avec $g(y)=\sin y$.
Donc $f\,'=2g'(2x+0)-1$ avec $g'(y)=\cos y$.
Et par là: $f\,'(x)=2×\cos(2x)-1=2(2\cos^2 x-1)-1=4\cos^2 x-2-1$.
Soit: $f\,'(x)=4\cos^2 x-3$

On résout sur $[0;π]$ l'inéquation $4\cos^2 x-3≥0$ (1)

On pose $X=\cos x$ et on résout d'abord: $4X^2-3≥0$.
$4X^2-3≥0$ $⇔$ $X^2≥{3}/{4}$ $⇔$ $X≤-{√{3}}/{2}$ ou $X≥{√{3}}/{2}$

Par conséquent: (1) $⇔$ $\cos x≤-{√{3}}/{2}$ ou $\cos x≥{√{3}}/{2}$

On résout les équations trigonométriques associées.
$\cos x= -{√{3}}/{2}$ $⇔$ $\cos x=\cos(π-{π}/{6})=\cos{5π}/{6}$ $⇔$ $x={5π}/{6}$ $[2π]$ ou $x=-{5π}/{6}$ $[2π]$.
Donc, sur $[0;π]$, on a: $\cos x= -{√{3}}/{2}$ $⇔$ $x={5π}/{6}$.

On revient alors à l'inéquation $\cos x≤-{√{3}}/{2}$.
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient:
$\cos x≤-{√{3}}/{2}$ $⇔$ ${5π}/{6}$<$x≤π$.

On procède de même avec la seconde inéquation.
$\cos x= {√{3}}/{2}$ $⇔$ $\cos x=\cos({π}/{6})$ $⇔$ $x={π}/{6}$ $[2π]$ ou $x=-{π}/{6}$ $[2π]$.
Donc, sur $[0;π]$, on a: $\cos x= {√{3}}/{2}$ $⇔$ $x={π}/{6}$.

On revient alors à l'inéquation $\cos x≥{√{3}}/{2}$.
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient:
$\cos x≥{√{3}}/{2}$ $⇔$ $0≤x≤{π}/{6}$.

D'où le tableau de signes de $f\,'$ et le tableau de variation de $f$:
variation et cosinus

3. $f({π}/{2})=\sin{π}-{π}/{2}=-{π}/{2}$
$f\,'({π}/{2})=4\cos^2({π}/{2})-3=-3$
Donc $t$ admet pour équation: $y=-{π}/{2}+(-3)(x-{π}/{2})$
Soit: $y=-3x+π$.

4. Voici les tracés demandés:
fonctions circulaires

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