Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 1

Un exercice répétitif pour apprendre les opérations sur les limites de suites.
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=-4n^2-√{n}+11$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={9-{2}/{n}}/{{1}/{√{n}}-1}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}v_n$.
  3. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n={1-0,98^n}/{1-n^2}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}r_n$.
  4. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=-n^3+3n^2-2n$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}w_n$.
  5. Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n={n+9}/{-n+7}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 8.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}t_n$.
  6. Soit $(p_n)$ la suite définie par $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}p_n$.
Solution...
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  1. $u_n=-4n^2-√{n}+11$
    $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$. Or -4<0. Donc $\lim↙{n→+∞}-4n^2=-∞$ (limite d'un produit).
    Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$. Donc $\lim↙{n→+∞}-√{n}=-∞$.
    Enfin $\lim↙{n→+∞}11=11$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}u_n=-∞$ (limite d'une somme).

  2. $v_n={9-{2}/{n}}/{{1}/{√{n}}-1}$
    $\lim↙{n→+∞}{1}/{n}=0$. Or $-{2}/{n}=(-2)×{1}/{n}$. Donc $\lim↙{n→+∞}-{2}/{n}=(-2)×0=0$.
    Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}9=9$.
    Donc $\lim↙{n→+∞}9-{2}/{n}=9-0=9$ (limite d'une somme).
    De même, on a $\lim↙{n→+∞}{1}/{√{n}}-1=0-1=-1$ (limite d'une somme).
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}v_n={9}/{-1}=-9$ (limite d'un quotient).

  3. $r_n={1-0,98^n}/{1-n^2}$
    $-1$<$0,98$<$1$, donc $\lim↙{n→+∞}(0,98^n)=0$.
    Donc $\lim↙{n→+∞}(1-0,98^n)=1-0=1$.
    Par ailleurs, comme $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$, on a $\lim↙{n→+∞}-n^2=-∞$.
    Et par là: $\lim↙{n→+∞}1-n^2=-∞$ (limite d'une somme)
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}r_n=0$ (limite d'un quotient).

  4. $w_n=-n^3+3n^2-2n$
    On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}-n^3=-∞$ et $\lim↙{n→+∞}3n^2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $w_n$
    .
    $w_n=n^3(-1+{3}/{n}-{2}/{n^2})$.
    Or $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{3}/{n}-{2}/{n^2}=-1+0-0=-1$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}w_n=-∞$ (limite d'un produit).

  5. $t_n={n+9}/{-n+7}$
    On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}n+9=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-n+7=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $t_n$ et on simplifie.

    $t_n={n(1+{9}/{n})}/{n(-1+{7}/{n})}={1+{9}/{n}}/{-1+{7}/{n}}$.
    Or $\lim↙{n→+∞}1+{9}/{n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{7}/{n}=-1+0=-1$.
    Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}t_n={1}/{-1}=-1$ (limite d'un produit).

  6. $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}$
    On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}8n^2-n+1=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}n+2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $p_n$ et on simplifie.

    $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}={n^2(8-{1}/{n}+{1}/{n^2})}/{n(1+{2}/{n})}=n{8-{1}/{n}+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}$.
    Or $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}{8-{1}/{n}+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}={8-0+0}/{1+0}=8$.
    Donc finalement $\lim↙{n→+∞}p_n=+∞$ (limite d'un produit).

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