Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 2

Un exercice de révision de notions vues en première...

Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Question 1. Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante de 3 façons différentes.

  1. En déterminant le signe de $w_{n+1}-w_n$ pour tout entier naturel $n$.
  2. En étudiant le quotient ${w_{n+1}}/{w_n}$ pour tout entier naturel $n$.
  3. En étudiant le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)={x}/{x+2}$ pour $x$ positif.

Question 2. Déterminer $\lim↙{n→+∞}w_n$.
Question 3. La phrase "si une suite est strictement croissante, alors sa limite est $+∞$" est-elle vraie?

Solution...

Corrigé

Question 1.

  1. Soit $n$ un entier naturel.
    $w_{n+1}-w_n={n+1}/{n+1+2}-{n}/{n+2}={n+1}/{n+3}-{n}/{n+2}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={(n+1)(n+2)}/{(n+3)(n+2)}-{n(n+3)}/{(n+2)(n+3)}={(n+1)(n+2)-n(n+3)}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={n^2+2n+1n+2-n^2-3n}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=={2}/{(n+3)(n+2)}$
    Le numérateur est strictement positif.
    Or, puisque $n$ est un entier naturel, il est clair que le dénominateur est également strictement positif .
    Donc, pour tout naturel $n$, $w_{n+1}-w_n>0$, soit: $w_{n+1}>w_n$.
    Par conséquent, $(w_n)$ est strictement croissante.

  2. Nous allons comparer le quotient ${w_{n+1}}/{w_n}$ à 1. Cette méthode est valide si la suite reste strictement positive.
    Soit $n$ est un entier naturel non nul. Il est alors évident que $w_n={n}/{n+2}$ est strictement positif.
    On a: ${w_{n+1}}/{w_n}={n+1}/{n+1+2}×{n+2}/{n}={(n+1)×(n+2)}/{(n+3)×n}={n^2+3n+2}/{n^2+3n}$
    Soit: ${w_{n+1}}/{w_n}={n^2+3n}/{n^2+3n}+{2}/{n^2+3n}=1+{2}/{n^2+3n}$.
    Or, puisque $n$ est un entier naturel non nul, il est clair que ${n^2+3n}$ est strictement positif, et par là, ${2}/{n^2+3n}$ est aussi strictement positif.
    Par conséquent, ${w_{n+1}}/{w_n}$>$1$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $w_{n+1}$>$w_n$.
    On a multiplié chaque membre de l'inégalité précédente par $w_n$ qui est strictement positif. Le sens de l'inégalité n'a donc pas changé.

    Il reste à traiter le cas où $n=0$, et donc à comparer $w_{1}$ et $w_0$.
    On a: $w_{1}={1}/{3}$ et $w_0=0$, et par là: $w_{1}$>$w_0$.

    Donc finalement: pour tout entier naturel $n$, on a: $w_{n+1}$>$w_n$.
    Finalement, on a montré que $(w_n)$ est strictement croissante.

  3. Soit $f$ définie par $f(x)={x}/{x+2}$ pour $x$ positif ou nul.
    $f'(x)={1×(x+2)-x×1}/{(x+2)^2}={x+2-x}/{(x+2)^2}={2}/{(x+2)^2}$
    On a: 2>0, et $(x+2)^2$>0 (c'est un carré, qui ne s'annule pas pour $x$ positif).
    $f'(x)$, quotient de 2 termes strictement positifs, est donc strictement positive.
    Donc $f$ est strictement croissante pour $x$ positif ou nul.

    Et comme $w_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, la suite $(w_n)$ est également strictement croissante.


Question 2.
On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}n+2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors les termes "dominants" du quotient $w_n$ et on simplifie.

$w_n={n}/{n(1+{2}/{n})}={1}/{1+{2}/{n}}$.
Or $\lim↙{n→+∞}1+{2}/{n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}1=1$.
Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}w_n={1}/{1}=1$ (limite d'un quotient).

Question 3.
La phrase "si une suite est strictement croissante, alors sa limite est $+∞$" est donc fausse, car la suite $(w_n)$ est strictement croissante alors que sa limite n'est pas $+∞$.

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