Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 5

Un exercice utilisant les théorèmes de comparaison.
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^3+√{n^2-n+3}+11$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}u_n$ par comparaison.
  2. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n={(-1)^n}/{n}$ pour tout naturel $n$ non nul.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}w_n$ en utilisant le théorème des gendarmes..
  3. Montrer que, pour tout naturel $n$, $n^2-n+8\text">"0$.
    Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={2n^2+\cos n}/{n^2-n+8}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer $\lim↙{n→+∞}v_n$ en utilisant le théorème des gendarmes.
Solution...
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  1. $u_n=n^3+√{n^2-n+3}+11$
    Pour tout naturel $n$, $√{n^2-n+3}≥0$, et donc: $n^3+√{n^2-n+3}+11≥n^3+0+11$
    Soit: $u_n≥n^3+11$
    Or, comme $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}11=11$, on a: $\lim↙{n→+∞}n^3+11=+∞$.
    Donc, par comparaison, $\lim↙{n→+∞}u_n=+∞$.

  2. Pour tout naturel $n$, $-1≤(-1)^n≤1$, et donc: ${-1}/{n}≤w_n≤{1}/{n}$.
    Or $\lim↙{n→+∞}{-1}/{n}=0$ et $\lim↙{n→+∞}{1}/{n}=0$.
    Et par là, d'après le théorème des gendarmes, $\lim↙{n→+∞}w_n=0$.

  3. $x^2-x+8$ est un trinôme dont le discriminant vaut: $Δ =(-1)^2-4 ×1 ×8=-31$.
    $Δ\text"<"0$ et le coefficient dominant 1 est positif. Donc le trinôme reste toujours strictement positif.
    Considérons $v_n={2n^2+\cos n}/{n^2-n+8}$
    Pour tout naturel $n$, $-1≤\cos n≤1$, et donc: $2n^2-1≤2n^2+\cos n≤2n^2+1$.
    Or $n^2-n+8\text">"0$ pour tout naturel $n$.
    Donc, on obtient: ${2n^2-1}/{n^2-n+8}≤{2n^2+\cos n}/{n^2-n+8}≤{2n^2+1}/{n^2-n+8}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminons la limite de chacun des "gendarmes".
    ${2n^2-1}/{n^2-n+8}={n^2(2-{1}/{n^2})}/{n^2(1-{1}/{n}+{8}/{n^2})}={2-{1}/{n^2}}/{1-{1}/{n}+{8}/{n^2}}$.
    On obtient alors: $\lim↙{n→+∞}{2n^2-1}/{n^2-n+8}={2-0}/{1-0+0}=2$.
    De même, on obtient: $\lim↙{n→+∞}{2n^2+1}/{n^2-n+8}=\lim↙{n→+∞}{2+{1}/{n^2}}/{1-{1}/{n}+{8}/{n^2}}={2+0}/{1-0+0}=2$.
    Et par là, d'après le théorème des gendarmes, $\lim↙{n→+∞}v_n=2$.
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