Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 6

Un exercice classique, et facile, utilisant une suite auxiliaire de nature connue pour déterminer la formule explicite de la suite initiale.

Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés LibreBox et Télécom est supposé stable et égal à 70 millions de clients.
Au premier janvier 2000, la société LibreBox possède 7 millions de clients, tandis que la société Télécom en détient 63 millions.
Chaque année, 20% de la clientèle de LibreBox change pour Télécom et de même, 20% de la clientèle de Télécom change pour LibreBox.
Soit $u_n$ le nombre de clients (en millions) de la société LibreBox au premier janvier de l'année $2000+n$. Il est clair que $u_0=7$.
1.a. Montrer que $u_1=18,2$
1.b. Montrer que $u_{n+1}=0,6×u_n+14$ pour tout naturel $n$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-35$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6, et donner son premier terme.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ et conclure.

Solution...

Corrigé

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1.a. $u_1=u_0×0,80+(70-u_0)×0,20=7×0,80+(70-7)×0,20=7×0,80+63×0,20=18,2$.

1.b. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n×0,80+(70-u_n)×0,20=0,80u_n+70×0,20-0,20u_n=0,6×u_n+14$.

2. Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6, il suffit de montrer que $v_{n+1}=0,6×v_n$ pour tout entier naturel $n$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-35=0,6×u_n+14-35=0,6×u_n-21$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-35)=0,6×u_n-0,6×35=0,6×u_n-21$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-35=7-35=-28$.

3. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n=(-28)×0,6^n$.
Par ailleurs, $v_n=u_n-35$ donne $v_n+35=u_n$.
Finalement, on obtient: $(-28)×0,6^n+35=u_n$.

4. Comme 0<0,6<1, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=35$.
Le nombre de clients de LibreBox tend vers $35$ millions.
Notons que de ce fait, celui de Télécom tend également vers 35 millions.

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