Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 8

Un exercice de type bac où vous devez faire preuve d'initiative.
Même si vous ne trouvez pas la solution, n'hésitez pas à proposer vos idées...

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$, et par $u_{n+1}=5u_n+4n^2+2n+2$ pour tout entier naturel $n$.
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n}=u_n+n^2+n+1$ pour tout entier naturel $n$.
1. Les premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont affichés sur la feuille de tableur qui suit:

fig2

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et recopiées vers le bas pour afficher les termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$?

2. Déterminer, en justifiant, une expression de $(u_n)$ en fonction de $n$ uniquement.
Déterminer, en justifiant, une expression de $(v_n)$ en fonction de $n$ uniquement.

Solution...
Corrigé

1. En C2, on entre la formule: =B2+A2^2+A2+1.
en B3, on entre la formule: =5*B2+4*A2^2+2*A2+2.

2. Les valeurs données par le tableur permettent de conjecturer une formule explicite pour la suite $(v_n)$.
En effet, cette suite semble géométrique de raison 5 et de premier terme 2.


On conjecture que: pour tout entier naturel $n$, on a: $v_n=2×5^n$.
Or, comme $v_{n}=u_n+n^2+n+1$, on a: $u_n=v_{n}-n^2-n-1$.
Par conséquent, on conjecture que: pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=2×5^n-n^2-n-1$.

Démontrons ces 2 conjectures.

Clique ICI pour revoir l'essentiel sur la démonstration par récurrence.

Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $u_n=2×5^n-n^2-n-1$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $ 2×5^0-0^2-0-1=2-1=1=u_0$ , donc $ P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $u_n=2×5^n-n^2-n-1$.
Or: $u_{n+1}=5u_n+4n^2+2n+2$.
D'où: $u_{n+1}=5(2×5^n-n^2-n-1)+4n^2+2n+2$.
Soit: $u_{n+1}=2×5^{n+1}-5n^2-5n-5+4n^2+2n+2$.
Soit: $u_{n+1}=2×5^{n+1}-n^2-3n-3$.
Or: $2×5^{n+1}-(n+1)^2-(n+1)-1=2×5^{n+1}-n^2-2n-1-n-1-1$
Soit: $2×5^{n+1}-(n+1)^2-(n+1)-1=2×5^{n+1}-n^2-3n-3$.
Donc on obtient: $u_{n+1}=2×5^{n+1}-(n+1)^2-(n+1)-1$.
Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $u_n=2×5^n-n^2-n-1$.

Or, on sait que:
$v_{n}=u_n+n^2+n+1$ pour tout entier naturel $n$.
On en déduit alors que: pour tout naturel $n$, $v_n=2×5^n$.

Autre méthode.
Cette seconde méthode a l'avantange de ne pas utiliser de démonstration par récurrence.
Montrons directement que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 5.
Soit $n$ un entier naturel.
On a: $v_{n}=u_n+n^2+n+1$.
Donc: $v_{n+1}=u_{n+1}+(n+1)^2+(n+1)+1=5u_n+4n^2+2n+2+n^2+2n+1+n+1+1$
Soit: $v_{n+1}=5u_n+5n^2+5n+5=5(u_n+n^2+n+1)$
Et donc: $v_{n+1}=5v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 5.
Or $v_0=2$.
Donc: pour tout naturel $n$, $v_n=2×5^n$.

Et comme $v_{n}=u_n+n^2+n+1$, on obtient alors: $u_n=v_n-n^2-n-1$.
Donc: pour tout naturel $n$, $u_n=2×5^n-n^2-n-1$.

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