Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie vectorielle et analytique

Exercice 1

ABCDEFGH est un cube dessiné ci-contre.
Les points I et J vérifient
${EI}↖{→}={1}/{3}{EF}↖{→}$ et ${GJ}↖{→}={2}/{3}{GC}↖{→}$.
On veut montrer que les vecteurs ${FG}↖{→}$, ${IJ}↖{→}$ et ${EC}↖{→}$ sont coplanaires.

1. Méthode vectorielle.
Exprimer le vecteur ${IJ}↖{→}$ en fonction des vecteurs ${EC}↖{→}$ et ${FG}↖{→}$.
Conclure.

2. Méthode analytique.
Le plan est rapporté au repère $(G,C,H,F)$.
Donner, sans justifier, les coordonnées des points G, C, H, F, E, I et J.
Déterminer les coordonnées des vecteurs ${IJ}↖{→}$, ${EC}↖{→}$ et ${FG}↖{→}$.
Montrer que ces vecteurs sont coplanaires.

cube; coordonnées
Solution...
Corrigé

1. Pour montrer que les vecteurs ${FG}↖{→}$, ${IJ}↖{→}$ et ${EC}↖{→}$ sont coplanaires, il suffit de trouver deux nombres $x$ et $y$ tels que ${IJ}↖{→}= x{EC}↖{→}+y{FG}↖{→}$

Méthode: il suffit de décomposer ${IJ}↖{→}$ à l'aide de la relation de Chasles.
L'astuce est de "suivre" les traits de construction, ce qui sous-tend l'utilisation des hypothèses données dans l'énoncé.
ABCDEFGH est un cube , et par là:      ${GC}↖{→}={FB}↖{→}$      (1)       et      ${BC}↖{→}={FG}↖{→}$      (2)
Par ailleurs, on a:      ${EI}↖{→}={1}/{3}{EF}↖{→}$      (3)
Enfin, comme: ${GJ}↖{→}={2}/{3}{GC}↖{→}$, on a:      ${JC}↖{→}={1}/{3}{GC}↖{→}$      (4)
Tentons d'exprimer ${IJ}↖{→}$ en fonction de ${EC}↖{→}$ et ${FG}↖{→}$.
${IJ}↖{→}= {IF}↖{→}+ {FG}↖{→}+ {GJ}↖{→}$      (Chasles)
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}{EF}↖{→}+{FG}↖{→}+ {2}/{3}{GC}↖{→}$      (d'après (3) et (4))
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}({EF}↖{→}+{GC}↖{→})+{FG}↖{→}$
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}({EF}↖{→}+{FB}↖{→})+{FG}↖{→}$      (d'après (1))
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}{EB}↖{→}+{FG}↖{→}$ (Chasles)
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}({EC}↖{→}-{BC}↖{→})+{FG}↖{→}$      (Chasles)
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}({EC}↖{→}-{FG}↖{→})+{FG}↖{→}$      (d'après (2))
Soit: ${IJ}↖{→}= {2}/{3}{EC}↖{→}+{1}/{3}{FG}↖{→}$
Donc il existe des nombres réels $x$ et $y$ tels que ${IJ}↖{→}= x{EC}↖{→}+y{FG}↖{→}$
Et par là, les vecteurs ${FG}↖{→}$, ${IJ}↖{→}$ et ${EC}↖{→}$ sont coplanaires.


2. On a:    G(0,0,0),    C(1,0,0),    H(0,1,0),    F(0,0,1)
et:    E(0,1,1),    I(0,${2}/{3}$,1),     J(${2}/{3}$,0,0).
${FG}↖{→}(0,0,-1)$
${IJ}↖{→}({2}/{3},-{2}/{3},-1)$
${EC}↖{→}(1,-1,-1)$
Pour montrer que les vecteurs ${FG}↖{→}$, ${IJ}↖{→}$ et ${EC}↖{→}$ sont coplanaires, il suffit de trouver deux nombres $x$ et $y$ tels que ${IJ}↖{→}= x{EC}↖{→}+y{FG}↖{→}$

On rappelle que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées.

Donc ${IJ}↖{→}= x{EC}↖{→}+y{FG}↖{→}$ $⇔$ $\{\table {2}/{3}=x×1+y×0; -{2}/{3}=x×(-1)+y×0;-1=x×(-1)+y×(-1)$ $⇔$ $\{\table {2}/{3}=x; -{2}/{3}={2}/{3}×(-1);-1={2}/{3}×(-1)-y$ $⇔$ $\{\table {2}/{3}=x; -{2}/{3}=-{2}/{3};y={1}/{3}$
Le système admet un couple solution $(x,y)=({2}/{3},{1}/{3})$.
Et par là, les vecteurs ${FG}↖{→}$, ${IJ}↖{→}$ et ${EC}↖{→}$ sont coplanaires.

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