Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie vectorielle et analytique

Exercice 2

ABCDEFGH est un cube dessiné ci-contre.
Les points I et J vérifient
${EI}↖{→}={1}/{3}{EF}↖{→}$ et ${DJ}↖{→}={1}/{3}{DH}↖{→}$.
On veut montrer que la droite (EJ) est parallèle au plan (GDI).

Le plan est rapporté au repère $(G,C,H,F)$.
Donner, sans justifier, les coordonnées des points G, C, H, F, D, E, I et J.
Démontrer qu'il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que ${EJ}↖{→}=x{GD}↖{→}+y{GI}↖{→}$.
Conclure.

cube et vecteurs
Solution...
Corrigé

On a:    G(0,0,0),    C(1,0,0),    H(0,1,0),    F(0,0,1)
et:    D(1,1,0),    E(0,1,1),    I(0,${2}/{3}$,1),     J(${2}/{3}$,1,0).
${EJ}↖{→}({2}/{3},0,-1)$
${GD}↖{→}(1,1,0)$
${GI}↖{→}(0,{2}/{3},1)$
On cherche deux nombres $x$ et $y$ tels que ${EJ}↖{→}=x{GD}↖{→}+y{GI}↖{→}$

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées.

On a donc: $\{\table {2}/{3}=x×1+y×0; 0=x×1+y×{2}/{3};-1=x×0+y×1$ $⇔$ $\{\table {2}/{3}=x; 0={2}/{3}+y×{2}/{3};-1={2}/{3}×0+y$ $⇔$ $\{\table {2}/{3}=x; -1=y;-1=y$
Le système admet un couple solution $(x,y)=({2}/{3},-1)$.
Donc il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que ${EJ}↖{→}=x{GD}↖{→}+y{GI}↖{→}$.

Pour montrer que la droite (EJ) est parallèle au plan (GDI), il suffit de montrer que (EJ) est parallèle à une droite du plan (GDI).
Soit M le point défini par ${GM}↖{→}={EJ}↖{→}={2}/{3}{GD}↖{→}-{GI}↖{→}$.

vecteurs; géométrie analytique

Comme ${GM}↖{→}={2}/{3}{GD}↖{→}-{GI}↖{→}$, M est nécessairement dans le plan (GDI), et par là, la droite (GM) est une droite du plan (GDI).
Et comme ${GM}↖{→}={EJ}↖{→}$, ces deux vecteurs sont colinéaires, et par là, la droite (EJ) est parallèle à la droite (GM).
Nous avons donc montré que (EJ) est parallèle à une droite de (GDI). Elle est donc parallèle au plan (GDI).

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