Lois à densité
Remarque: dans tout ce qui suit, les repères sont supposés orthogonaux.
I Variables aléatoires continues
Définition
Une variable aléatoire définie sur l'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d'un intervalle I.
Exemple
Jean attend son bus. Il est certain que son bus arrivera dans moins de 10 minutes.
Soit X son temps d'attente (en minutes).
La variable aléatoire X est continue car elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels de l'intervalle [0;10[.
Par exemple, $X=1,3$ signifie que le bus arrive au bout de 1 minute et 18 secondes (car $0,3×60=18$).
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
Si
- $f$ est continue
- $f$ est positive
alors $f$ est une densité si et seulement si
- l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut 1
Exemple
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=0,1$ sur $[0;10]$.
Montrer que $f$ est une densité.
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=a x$ sur $[1;5]$.
Déterminer la valeur de $a$ pour que $g$ soit une densité.
Corrigé
La fonction $f$ est clairement continue et positive.
L'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut:
$$A=∫_0^{10} f(x)dx$$
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un rectangle de côtés 10 et 0,1.
Donc: $$A=10×0,1=1$$
Finalement, les trois conditions suffisantes sont vérifiées, et par là, $f$ est bien une densité.
Remarque: $f$ est la densité d'une loi dite "uniforme" sur $[0;10]$.
Quel que soit $a$, la fonction $g$, linéaire, est continue.
Par ailleurs, comme $x\text">"0$ (pour $x$ dans $[1;5]$), la fonction $g$ est positive si et seulement si $a$ l'est.
On a donc $a\text">"0$.
Par ailleurs, $g$ étant désormais positive et continue, l'aire du domaine situé entre $C_g$ et l'axe des abscisses vaut:
$$A=∫_1^{5} g(t)dt$$
Il est nécessaire et suffisant que cette aire vaille 1.
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un trapèze de bases $g(1)$ et $g(5)$ et de hauteur $5-1$.
Son aire vaut donc: ${g(1)+g(5)}/{2}×(5-1)={a+5a}/{2}×4=12a$.
On obtient donc $12a=1$. Et par là: $a={1}/{12}$.
Notons que la valeur trouvé est bien positive.
Dès lors, les trois conditions sont vérifiées pour que $g$ soit une densité.
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle I.
X suit la loi de densité $f$ si
pour tout intervalle J inclus dans I, $p(X∈J)$ est l'aire du domaine D,
où $$D=\{M(x;y) \text" tel que " x∈J \text" et " 0≤y≤f(x)\}$$
(D est le domaine situé entre $C_f$ et l'axe des abscisses pour $x$ dans J).
Propriété
Soit X une variable aléatoire continue de densité $f$ à valeurs dans l'intervalle I.
Pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a≤b$, on a: $$p(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx$$.
Remarques: $p(X=a)=0$
$$p(a≤X≤b)=p(a<X≤b)=p(a≤X<b)=p(a<X<b)$$
On prolonge souvent $f$ à $\ℝ$ tout entier en la supposant nulle ailleurs qu'en I.
Définition et propriété
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle I.
La fonction $F$ définie pour tout $x$ de I par $F(x)=p(X≤x)$ s'appelle la fonction de répartition de X.
Pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a≤b$, on a: $p(a≤X≤b)=F(b)-F(a)$.
Exemple
Chaque jour, Jean prend le bus pour se rendre au lycée.
Il a constaté que son temps d'attente X (en minutes) suit une loi de densité $h$ définie par $h(x)=0,01x$ sur $[0;10]$.
Aujourd'hui, Jean arrive à l'arrêt de bus.
1. Déterminer par un calcul d'aire la probabilité que Jean attende moins de 7 minutes.
2. Déterminer par un calcul d'aire la probabilité que son temps d'attente soit compris entre 7 et 9 minutes.
3. Déterminer la formule donnant $F(x)$, où $F$ est la fonction de répartition de X.
Retrouver les 2 résultats précédent en utilisant $F$.
Corrigé
1.
La probabilité cherchée est: $$p(0≤X≤7)=∫_0^7 h(x)dx$$.
Cela correspond à l'aire du domaine hachuré en vert (voir ci-dessous), qui est un triangle rectangle de base $7-0=7$ et de hauteur $h(7)=0,01×7=0,07$.
Donc: $$p(0≤X≤7)={7×0,07}/{2}=0,245$$
2.
La probabilité cherchée est: $$p(7≤X≤9)=∫_7^9 h(x)dx$$.
Cela correspond à l'aire du domaine hachuré en rouge (voir ci-dessous, qui est un trapèze de bases $h(7)=0,07$ et $h(9)=0,09$ et de hauteur $9-7=2$.
Donc: $$p(7≤X≤9)={0,07+0,09}/{2}×2=0,16$$
La densité $h$ est représentée ci-dessous.
Les aires des parties hachurées (en unités d'aires) correspondent aux probabilités cherchées.
3.
Soit $x$ dans $[0;10]$.
$F(x)=p(X≤x)=∫_0^x h(t)dt$
On cherche donc l'aire d'un triangle rectangle de base $x-0=x$ et de hauteur $h(x)=0,01×x$.
Donc: $F(x)={x×0,01×x}/{2}=0,005x^2$
On notera que: $F(7)-F(0)=0,005×7^2-0,005×0^2=0,245=p(0≤X≤7)$
et: $F(9)-F(7)=0,005×9^2-0,005×7^2=0,16=p(7≤X≤9)$
Définition
L' espérance d'une variable aléatoire continue X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ et de densité $f$ est définie par l'égalité $$E(X)=∫_a^b x.f(x)dx$$.
La variance d'une variable aléatoire continue X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ et de densité $f$ est définie par l'égalité $$V(X)=∫_a^b {x^2}.f(x)dx-(E(X))^2$$.
Ces définitions peuvent s'étendre à un intervalle non borné si la densité $f$ est "convenable".
Exemple
On reprend l'énoncé de l'exemple précédent. On admet que l'espérance de X vaut ${10}/{3}$.
Interprétez cette valeur de façon probabiliste, puis en terme d'aire.
Corrigé
Première interprétation.
On a: ${10}/{3}=3+{1}/{3}$.
Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend certainement vers 3 minutes et 20 secondes.
Seconde interprétation.
On a: $$E(X)=∫_0^{10} x.h(x)dx=∫_0^{10} 0,01x^2 dx$$.
Le trinôme du second degré $0,01x^2$ est continu et positif.
Donc $E(X)$ représente l'aire du domaine situé entre la parabole représentant le trinôme, l'axe des abscisses, et la droite d'équation $x=10$.
Le domaine hachuré ci-dessous a donc une aire égale à ${10}/{3}$ d'unités d'aires.
II Loi uniforme
Définition
Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$.
La variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a;b]$ si elle admet une densité $f$ définie sur $ℝ$ par:
- $f(x)={1}/{b-a}$ si $x∈[a;b]$
- $f(x)=0$ si $x∉[a;b]$
Propriété
Si X est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$,
alors, sa fonction de répartition $F$ est définie pour tout $x$ dans $[a;b]$ par:
- $F(x)=0$ si $x$<$ a$
- $F(x)={x-a}/{b-a}$ si $x∈[a;b]$
- $F(x)=1$ si $x>b$
Propriété
Si X est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$,
alors, pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a: $$p(c≤X≤d)={d-c}/{b-a}$$.
Propriété
L' espérance d'une variable aléatoire uniforme X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ est définie par l'égalité $$E(X)={a+b}/{2}$$.
Sa variance vérifie $$V(X)={(b-a)^2}/{12}$$.
Exemple
On choisit au hasard un réel de l'intervalle [13;23].
- Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne la valeur du nombre choisi?
- Quelle est la probabilité que ce nombre soit entre 15 et 20?
- Représentez $f$ et faire apparaître sur le dessin la valeur trouvée au 2.
- Sur un très grand nombre d'expériences, vers quel réel tend, en moyenne, la valeur du nombre choisi ?
Corrigé
- X suit une loi uniforme sur [13;23], de densité $f(x)={1}/{23-13}={1}/{10}=0,1$.
- La probabilité cherché est: $$p(15≤X≤20)={20-15}/{23-13}$$.
Soit: $$p(15≤X≤20)={5}/{10}=0,5$$. - $f$ est représentée ci-contre.
La probabilité trouvée au 2. est l'aire (en unités d'aires) du rectangle hachuré de côtés 5 et 0,1.
- Sur un très grand nombre d'expériences, la valeur moyenne du nombre choisi tend vers $E(x)$, c'est à dire vers ${13+23}/{2}=18$.
III Loi exponentielle
Définition
Soit $λ$ un réel strictement positif.
La variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ sur l'intervalle $[0;+∞[$
si elle admet une densité $f$ définie sur $[0;+∞[$ par: $f(x)=λe^{-λx}$
Propriété
Si X suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ sur l'intervalle $[0;+∞[$ ,
alors, sa fonction de répartition $F$ est définie pour tout $x$ dans $[0;+∞[$ par:
Propriété
Si X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre $λ$,
alors, pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[0;+∞[$ , on a:
$$p(c≤X≤d)=e^{-λc}-e^{-λd}$$ et $$p(c≤X)=e^{-λc}$$.
Propriété
L' espérance d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre $λ$ est définie par l'égalité $$E(X)={1}/{λ}$$.
Absence de mémoire
Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$, alors:
pour tous réels positifs $x$ et $x'$ $p_{X\>x}(X\>x+x')=p(X\>x')$
On dit que le temps d'attente ne dépend pas du temps d'attente "passé".
Exemple
Les probabilités seront arrondies à 0,001 près.
L'entreprise Duflan produit des appareils dont la durée de vie X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$.
La durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois.
- Quelle est la valeur de $λ$?
Donner la fonction de densité $f$ de X. - Calculer la probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans.
- Monsieur Benet possède un appareil qui n'a jamais eu de panne depuis 2 ans.
A l'aide des formules sur les probabillités conditionnelles, calculer la probabilité que l'appareil fonctionne encore pendant 3 ans.
Vérifier la propriété d'absence de mémoire.
Corrigé
- Comme la durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois, on a: $E(X)=15$.
Or, comme X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$, on a: $E(X)={1}/{λ}$.
Et par là: ${1}/{λ}=15$, et donc: $λ={1}/{15}$.
Et finalement: $f(x)={1}/{15}e^{-{1}/{15}x}$ pour $x≥0$ et $f(x)=0$ pour $x$<$0$. - 2 ans représentent 24 mois.
On calcule donc: $p(24≤X)=e^{-{1}/{15}24}≈0,202$.
La probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans est d'environ 0,202. - 3 ans représentent 36 mois.
On cherche donc $p_{24≤X}(24+36≤X)$.
Or: $p_{24≤X}(24+36≤X)={p((24+36≤X)∩(24≤X))}/{p(24≤X)}$.
Et comme $(24+36≤X)∩(24≤X)=(24+36≤X)$, on obtient: $p_{24≤X}(24+36≤X)={p(24+36≤X)}/{p(24≤X)}$.
Soit: $p_{24≤X}(24+36≤X)={e^{-{1}/{15}(24+36)}}/{e^{-{1}/{15}24}}=e^{-{1}/{15}36}≈0,091$.
La probabilité que l'appareil de monsieur Benet fonctionne encore pendant 3 ans vaut $e^{-{1}/{15}36}$.
On note que le résultat trouvé est égal à $p(36≤X)$.
On a donc montré que: $p_{24≤X}(24+36≤X)=p(36≤X)$.
Ce qui revient au même que: $p_{X\>24}(X\>24+36)=p(X\>36)$ (les strictes inégalités donnant les mêmes probabilités que les inégalités larges).
Le fait qu'il ait déjà 2 ans n'influe pas sur la probabilité qu'il vive encore 3 ans.
Cela confirme la véracité de la propriété d'absence de mémoire.
A retenir: une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans viellissement
Savoir faire
Dans les exercices posés au bac, le fait qu'une variable aléatoire suive une loi exponentielle est nécessairement indiqué dans l'énoncé.
Par contre, ce n'est pas forcément le cas si la variable aléatoire suit une loi uniforme.
Et c'est quasiment jamais le cas si la variable aléatoire suit une loi binomiale!