Calcul intégral
Définition
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (les axes sont perpendiculaires).
$$∫_a^b f(t)dt$$ est l'aire du domaine D délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Exemple
Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$, de courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal
(unités: 1 cm sur l'axe des abscisses, 0,5 cm sur l'axe des ordonnées)
On admet que $∫_1^3 f(t)dt=13/3≈4,333$.
Déterminer l'aire $A$ du domaine $D=${$M(x;y)$/$1≤x≤3$ et $0≤y≤f(x)$}.
Corrigé
La fonction $f$, dérivable, est donc continue.
De plus, il est évident que $f$ est positive sur $[1;3]$.
Donc $$A=∫_1^3 f(t)dt=13/3≈4,333$$.
L'aire du domaine $D$ vaut environ 4,333 unités d'aire.
$D$ est hachuré dans la figure ci-contre.
Calculons l'aire (en $cm^2$) d'une unité d'aire, c'est à dire celle d'un rectangle de côtés 1 unité (sur l'axe des abscisses) et 1 unité (sur l'axe des ordonnés).
Sa surface mesure: 1x0,5=0,5 $cm^2$.
Donc, une unité d'aire représente 0,5 $cm^2$.
Et comme 4,333x0,5=2,166, l'aire cherchée vaut environ 2,166 $cm^2$.
Propriété
Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle un segment $[a;b]$.
Alors la fonction $F_a$ définie sur $[a;b]$ par $$F_a(x)=∫_a^x f(t)dt$$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
Propriété
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a;b]$.
Soit F une primitive quelconque de $f$ sur I.
On a alors l'égalité:
$$∫_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$
On note également: $$∫_a^b f(t)dt=[F(t)]_a^b$$
Exemple
Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$.
Déterminer l'aire du domaine D délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$.
Corrigé
La fonction $f$, dérivable, est donc continue.
Elle est clairement positive sur $[1;3]$.
Donc l'aire cherchée est $∫_1^3 f(t)dt$.
Or, une primitive de $f$ est $F$, définie par $F(x)=0,5{x^3}/{3}$ sur $ℝ$.
Donc $$∫_1^3 f(t)dt=∫_1^3 0,5t^2dt=[F(x)]_1^3=[0,5{x^3}/{3}]_1^3$$
Soit: $$∫_1^3 f(t)dt=0,5{3^3}/{3}-0,5{1^3}/{3}=0,5(27/3-1/3)$$
Soit: $∫_1^3 f(t)dt=0,5 26/3=13/3≈4,333$.
L'aire est d'environ 4,333 unités d'aire.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Définition
Soit $f$ une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle I contenant les réels $a$ et $b$.
Soit F une primitive quelconque de $f$ sur I.
Alors $∫_a^b f(t)dt$ est définie par l'égalité:
$$∫_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$
On note également: $$∫_a^b f(t)dt=[F(t)]_a^b$$
On notera que la fonction $f$ peut être positive, ou négative, ou de signe variable, et que les réels $a$ et $b$ sont dans un ordre quelconque.
Exemple
$∫_5^2 -t^2dt=[-{t^3}/{3}]_5^2=-{2^3}/{3}-(-{5^3}/{3})=-{8}/{3}+{125}/{3}=39$
On notera qu'ici, la fonction $f(t)=-t^2$ est négative, et que 5>2.
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel $$m=1/{b-a}∫_a^b f(t)dt$$ .
Propriété
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$, de valeur moyenne $m$ sur $[a;b]$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
Le rectangle de côtés $m$ et $b-a$ a même aire que le domaine situé sous la courbe $C$.
Exemple
Soit $f$ la fonction de l'exemple précédent définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$.
Déterminer $m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[1;3]$.
Interpréter graphiquement.
Corrigé
$$m=1/{3-1}∫_1^3 f(t)dt$$ .
Or, on a vu dans l'exemple précédent que: $∫_1^3 f(t)dt≈4,333$.
Donc $$m≈1/{2}4,333≈2,166$$ .
Comme $f$ est positive, le rectangle de hauteur $2,166$ et de largeur $2$
a même aire que le domaine hachuré situé sous la courbe $C$.
Linéarité
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle contenant les réels $a$ et $b$, et $k$ un nombre réel.
Alors: $$∫_a^b (f(t)+g(t))dt=∫_a^b f(t)dt+∫_a^b g(t)dt$$
et: $$∫_a^b (kf(t))dt=k∫_a^b f(t)dt$$ .
En particulier, on obtient: $$∫_a^b (f(t)-g(t))dt=∫_a^b f(t)dt-∫_a^b g(t)dt$$ .
Donc, si $a$<$b$, et si $f$ et $g$ sont positives sur $[a;b]$, et si $g≤f$ sur $[a;b]$,
alors on a là une façon pratique de calculer l'aire entre deux courbes.
Exemple
On considère les fonctions $f(x)=\ln x+x^2$ et $g(x)=\ln x +x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$.
Montrer qu'elles sont positives sur $\[1;2\]$, et que $g≤f$ sur $\[1;2\]$.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On admet que $$∫_1^2 (t^2-t)dt=7/6≈1,17$$
Déterminer alors l'aire $A$ entre les deux courbes.
Corrigé
$x^2$ est positif pour tout $x$.
$\ln x$ est positif pour tout $x$ supérieur ou égal à 1.
$x$ est positif pour tout $x$ supérieur ou égal à 0.
Donc, sur $\[1;2\]$, $x^2$, $\ln x$ et $x$ sont positifs,
et par là, $f$ et $g$ le sont.
Par ailleurs, $x≤x^2$ pour $x≥1$, et par là, $g≤f$ sur $\[1;2\]$.
L'aire $A$ est la différence des deux aires sous les courbes:
$$A=∫_1^2 f(t)dt-∫_1^2 g(t)dt=∫_1^2 (f(t)-g(t))dt$$
Soit: $$A==∫_1^2 ((\ln t+t^2)-(\ln t+t)))dt=∫_1^2 (\ln t+t^2-\ln t-t)dt=∫_1^2 (t^2-t)dt$$
Soit: $$A=7/6≈1,17$$
Donc l'aire du domaine situé entre les deux courbes vaut environ 1,17 unités d'aire.
Notons qu'il vous aurait été difficile de calculer l'aire sous chacune des courbes car vous ne connaissez pas les primitives de la fonction $\ln$ (elles sont hors programme...).
Pour les curieux, voici le calcul de $$∫_1^2 (t^2-t)dt$$ à l'aide de primitive.
$$∫_1^2 (t^2-t)dt=[{t^3}/{3}-{t^2}/{2}]_1^2=(2^3/3-2^2/2)-(1^3/3-1^2/2)=8/3-4/2-1/3+1/2={16-12-2+3}/6=7/6≈1,17$$
Relation de Chasles
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant les réels $a$, $b$ et $c$.
Alors: $$∫_a^b f(t)dt+∫_b^c f(t)dt=∫_a^c f(t)dt$$ .
Si, de plus, $f$ est positive, et si $a$<$b$<$c$, alors cette propriété traduit l'additivité des aires:
l'aire sous la courbe entre $a$ et $c$ est la somme de l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$ et de l'aire sous la courbe entre $b$ et $c$.
Exemple
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur l'intervalle $\[0;1\]$ et par $f(x)=1/x$ sur l'intervalle $\]1;e\]$.
On admet que $$∫_0^1 f(t)dt=1/3$$ et $$∫_1^e f(t)d=1$$
Nous admettrons que $f$ est continue sur $\[0;e\]$.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Soit $D=\{M(x;y)$/$0≤x≤e$ et $0≤y≤f(x)\}$.
Déterminer l'aire $A$ de $D$.
Corrigé
Il est évident que $f$ est positive sur $[0;e]$.
Donc: $$A=∫_0^e f(t)dt=∫_0^1 f(t)dt+∫_1^e f(t)dt$$
Soit: $$A=1/3+1=4/3$$
Soit: $A≈1,33$ unités d'aire.
Pour les curieux, voici le calcul des 2 intégrales à l'aide de primitives.
On a: $$∫_0^1 f(t)dt=∫_0^1 t^2dt=[t^3/3]_0^1=(1^3/3-0^3/3)=1/3-0=1/3$$
et: $$∫_1^e f(t)dt=∫_1^e 1/tdt=[\ln t]_1^e=(\ln e-\ln 1)=1$$
Positivité
Soit $f$ une fonction continues sur un intervalle $\[a;b\]$.
Si $f≥0$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≥0$$ .
Si $f≤0$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≤0$$ .
Comparaison
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $\[a;b\]$.
Si $f≤g$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≤∫_a^b g(t)dt$$ .
Si, de plus, $f$ et $g$ sont positives, alors cette propriété traduit le fait que l'aire sous la courbe de $f$ est inférieure à celle située sous la courbe de $g$.
Exemple
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction $f$ continue sur l'intervalle $\[1;2\]$ telle que $1/x^2≤f(x)≤1/x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$.
On admet que $$∫_a^b 1/t^2dt=0,5$$ et $$∫_a^b 1/t dt=\ln 2$$
Déterminer un encadrement d'amplitude 0,2 de l'aire $A$ du domaine situé sous la courbe de $f$.
Corrigé
Comme $1/x^2≤f(x)≤1/x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$,
on obtient: $$∫_a^b 1/t^2dt≤∫_a^b f(t)dt≤∫_a^b 1/t dt$$
Soit: $0,5≤A≤\ln 2$.
Comme $\ln 2≈0,69$, on obtient: $0,5≤A≤0,7$.
C'est un encadrement convenable.
Pour les curieux, voici le calcul des 2 intégrales à l'aide de primitives.
On a: $$∫_a^b 1/t^2dt=[{-1}/{t}]_1^2={-1}/{2}-{-1}/{1}=0,5$$
et: $$∫_a^b 1/t dt=[\ln t]_1^2=(\ln 2-\ln 1)=\ln 2$$
Encadrement de la valeur moyenne
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ de valeur moyenne $m$ et telle que, pour tout $x$ de $[a;b]$, $min≤f(x)≤Max$
On a alors l'encadrement: $min≤m≤Max$
Exemple
Soit $f$ la fonction d'un exemple précédent définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$.
On a vu que sa valeur moyenne $m$ sur $[1;3]$ vérifie $m≈2,166$.
Or, comme $f$ est strictement croissante sur $[1;3]$ (évident), on en déduit que:
pour tout $x$ de $[1;3]$, $f(1)≤f(x)≤f(3)$, soit: $0,5≤f(x)≤4,5$
On vérifie alors qu'on a bien l'encadrement: $0,5≤m≤4,5$
La valeur moyenne est comprise entre les bornes de la fonction.