Applications de la continuité
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Exercice 4
Un biologiste a mis en culture des bactéries dans un milieu liquide. Leur concentration (mesurée par spectrophotométrie) est stable jusqu'au moment où le biologiste ajoute un nutriment au milieu.
Dans un premier temps, les bactéries se multiplient rapidement, puis, petit à petit, se produit un épuisement du milieu de culture et une accumulation des déchets. La croissance ralentit, puis la concentration diminue pour revenir doucement vers l'état d'équilibre initial.
L'expérience dure 30 heures.
On veut modéliser la concentration en bactéries par une fonction $f$.
D'après l'expérience, on doit avoir $f(0)=5$, $f(5)=10$. De plus, le maximum de $f$ doit être atteint en 5. Enfin, $f$ doit ralentir sa décroissance à partir de $x=10$.
On propose la fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0;30]$, par $f(x)=5+xe^{ax+1}$ (où $a$ est un paramètre)
$x$ représente la durée (en heures) et $f(x)$ la concentration (en milliers par microlitre).
On admet que $f$ est dérivable deux fois, et on nomme $\C_f$ sa courbe représentative.
Préambule
Montrer que, nécessairement, $a=-0,2$
Désormais, on a donc: $f(x)=5+xe^{-0,2x+1}$
Partie A. Etude de $f$
-
Soit $f\,'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Montrer que,pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, $f\,'(x)=(-0,2x+1)e^{-0,2x+1}$. - En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;30]$.
- Montrer que la tangente $t$ à $\C_f$ en 10 admet pour équation $y=-{1}/{e}x+5+{20}/{e}$.
- Déterminer $f"$, dérivée seconde de $f$, et montrer que $A(10 ;{5e+10}/{e})$ est le point d'inflexion de $\C_f$.
- Donner la position de $f$ par rapport à $t$.
- Recopier et compléter le tableau suivant (où les valeurs seront arrondies à 0,1 près).
Puis tracer $\C_f$ et $t$.
On placera également le point A sur le graphique.
On vérifiera graphiquement que la valeur $α$ semble convenir.
Partie B. Critique du modèle
La fonction $f$ est-elle convenable?
Partie C. Etude complémentaire
Le biologiste a peu de mesures au début de l'expérience. Il cherche à savoir au bout de combien de temps la concentration a-t-elle atteint $7\,000$ bactéries par microlitre.
Il considère que le modèle est correct. Et il veut donc résoudre l'équation $f(x)=7$ sur l'intervalle $[0; 5]$.
Justifier que cette équation admet une solution unique $α$ dans l’intervalle $[0; 5]$.
Donner une valeur de $α$ arrondie à 0,1 près.
Corrigé
Préambule
On doit avoir: $f(5)=10$
Donc: $5+5e^{5a+1}=10$
Donc: $e^{5a+1}={10-5}/{5}$
Donc: $e^{5a+1}=1$
Donc: $e^{5a+1}=e^0$
Donc: 5a+1=0$
Donc: $a=-0,2$ c.q.f.d.
Si l'on montre que: "si $a=-0,2$, alors $f(5)=10$",
alors on ne prouve pas que: "nécessairement $a$ vaut $-0,2$".
Ce qui a été fait prouve que $-0,2$ est la seule valeur possible pour $a$. Evidemment, cela ne prouve pas que la fonction $f$ soit convenable!
Partie A. Etude de $f$
- $f(x)=5+xe^{-0,2x+1}$
On pose: $u=x$ et $v=-0,2x+1$. On a donc: $u\,'=1$ et $v\,'=-0,2$.
Ici: $f=5+ue^v$, et donc: $f\,'=0+u\,'e^v+u(e^v)'=u\,'e^v+ue^vv'$.
Donc, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, on a: $f\,'(x)=1×e^{-0,2x+1}+x×e^{-0,2x+1}×(-0,2)$.
Soit: $f\,'(x)=e^{-0,2x+1}(1-x×0,2)$.
Soit: $f\,'(x)=(-0,2x+1)e^{-0,2x+1}$. - Une exponentielle est strictement positive. Donc $f\,'(x)$ est du signe de $-0,2x+1$.
Cette fonction affine, de coefficient directeur -0,2 strictement négatif, s'annule pour $x={-1}/{-0,2}=5$.
D'où le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;30]$.
- La tangente $t$ à $\C_f$ en 10 admet pour équation $y=f(10)+f\,'(10)(x-10)$.
Or on a: $f(10)=5+10e^{-1}=5+{10}/{e}$ et $f\,'(10)=(-0,2×10+1)e^{-0,2×10+1}=-e^{-1}=-{1}/{e}$.
Donc $t$ a pour équation $y=5+{10}/{e}+(-{1}/{e})(x-10)$.
Soit: $y=5+{10}/{e}-{1}/{e}x+{10}/{e}$.
Soit: $y=-{1}/{e}x+5+{20}/{e}$.
- On pose: $u=-0,2x+1$ et $v=-0,2x+1$. On a donc: $u\,'=-0,2$ et $v\,'=-0,2$.
Ici: $f\,'=ue^v$, et donc: $f"=u\,'e^v+u(e^v)'=u\,'e^v+ue^vv'$.
Donc, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, on a: $f"(x)=-0,2×e^{-0,2x+1}+(-0,2x+1)×e^{-0,2x+1}×(-0,2)$.
Soit: $f"(x)=e^{-0,2x+1}(-0,2+(-0,2x+1)×(-0,2))$.
Soit: $f"(x)=e^{-0,2x+1}(-0,2+0,04x-0,2)$.
Soit: $f"(x)=(0,04x-0,4)e^{-0,2x+1}$.
Une exponentielle est strictement positive. Donc $f"(x)$ est du signe de $0,04x-0,4$.
Cette fonction affine, de coefficient directeur 0,04 strictement positif, s'annule pour $x={0,4}/{0,04}=10$.
D'où le tableau donnant le signe de $f"$ sur l’intervalle $[0;30]$.
On constate que $f"$ s'annule en changeant de signe en 10.
Donc $A(10 ;f(10) )$ est le point d'inflexion de $\C_f$.
Il reste à calculer $f(10)=5+{10}/{e}={5e}/{e}+{10}/{e}={5e+10}/{e}$.
Donc $A(10 ;{5e+10}/{e} )$ est le point d'inflexion de $\C_f$. - On a vu précédemment que $f"$ est négative sur l’intervalle $[0;10]$.
$f$ est donc concave sur $[0;10]$, et par là, $\C_f$ y est en dessous de toutes ses tangentes, en particulier de la tangente $t$.
De même, $f$ est convexe sur $[10;30]$, et par là, $\C_f$ y est au dessus de toutes ses tangentes, en particulier de la tangente $t$.
- Tableau de valeurs:
Ci-dessous le graphique demandé.
On notera que $t$ passe par A et a pour ordonnée à l'origine $5+{20}/{e}≈12,4$.
Partie B. Critique du modèle
On a bien: $f(0)=5$ et $f(5)=10$. De plus, le maximum de $f$ est bien atteint en 5. Enfin, $f$ ralentit effectivement sa décroissance à partir de $x=10$ vu la convexité de $f$.
Donc la fonction $f$ est convenable.
Partie C. Etude complémentaire
D'après le tableau de variation précédent, la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\[0;5\]$.
Or 7 est un nombre compris entre $f(0)=5$ et $f(5)=10$,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=7$ admet une unique solution α sur $\[0;5\]$.
On cherche $α$ par essais successifs.
Dans le tableau suivant, les valeurs sont arrondies à 0,01 près.
Par conséquent, $α$ est compris entre 0,85 et 0,9.
D'où $α≈0,9$ (arrondi à 0,1 près)
La concentration a atteint $7\,000$ bactéries par microlitre au bout de 54 minutes environ (0,9 heure)