Lois à densité
A SAVOIR: le cours sur la densité
Exercice 6
Un exercice proposé par Maître J.
ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=8 et BC=6.
On choisit un point M au hasard sur [AB]; la distance AM est alors une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0;8].
On construit ensuite le point P sur [AC] tel que AMP soit rectangle en M.
L'ensemble des points P possibles est alors le segment [AC].
On remarque que les vecteurs $MP↖{→}$ et $BC↖{→}$ sont colinéaires.
On note Y la variable aléatoire donnant la longueur AP et on note S la variable aléatoire donnant l'aire de AMP.
- Déterminer $Y(Ω)$ et $S(Ω)$.
- Déterminer les probabilités $p(0≤X≤2)$, $p(X≥4)$, $p_{X≥2}(X≤4)$, $p(5≤X≤15)$ et $p(X≥-2)$.
- Montrer que $2≤Y≤6$ $⇔$ $1,6≤X≤4,8$. En déduire la probabilité que le segment [AP] mesure entre 2 et 6.
- $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0≤a$<$b≤10$. Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ la probabilité $p(a≤Y≤b)$
- La loi de Y est-elle uniforme? Justifier.
- $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0≤a$<$b≤24$. Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ la probabilité $p(a≤S≤b)$
- La loi de S est-elle uniforme? Justifier.
Corrigé
- On obtient facilement: $AC=√{AB^2+BC^2}=10$ (Théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B)
Comme l'ensemble des points P possibles est le segment [AC], et que $Y=AP$, on obtient donc $Y(Ω)=[0;10]$.
Le triangle AMP rectangle en M a pour aire $S={AM ×MP}/{2}$.
Or il est clair que, comme $MP↖{→}$ et $BC↖{→}$ sont colinéaires, on a: $PM=AM×{CB}/{AB}=AM×{6}/{8}=0,75 AM$ (théorème de Thalès)
Et par là: $S={0,75 AM^2}/{2}=0,375 AM^2$
Comme l'ensemble des points M possibles est le segment [AB] de longueur 8, on obtient donc $S(Ω)=[0;0,375×8^2]==[0;24]$.
- $p(0≤X≤2)={2-0}/{8-0}=0,25$
$p(X≥4)=p(4≤X≤8)={8-4}/{8-0}=0,5$
$p_{X≥2}(X≤4)={p(2≤X≤4)}/{p(2≤X≤8)}={4-2}/{8-2}={1}/{3}$
$p(5≤X≤15)=p(5≤X≤8)=={8-5}/{8-0}=0,375$
$p(X≥-2)=p(0≤X≤8)=1$. - Il est évident que $Y=AP=√{AM^2+MP^2}=√{AM^2+(0,75 AM)^2}=√{1,5625 AM^2}=1,25 AM^2=1,25 X^2$
Donc: $2≤Y≤6$ $⇔$ ${2}/{1,25}≤{Y}/{1,25}≤{6}/{1,25}$ $⇔$ $1,6≤X≤4,8$.
Donc: $p(2≤Y≤6)=p(1,6≤X≤4,8)={4,8-1,6}/{8-0}=0,4$
Donc la probabilité que le segment [AP] mesure entre 2 et 6 vaut $0,4$. -
$a$ et $b$ sont deux réels tels que $0≤a$<$b≤10$.
Comme ci-dessus, on obtient: $p(a≤Y≤b)={{b}/{1,25}-{a}/{1,25}}/{8-0}={b-a}/{10}$ -
On rappelle qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur $[m;M]$ si et seulement si, pour tous $a$ et $b$ tels que $m≤a≤b≤M$, on a: $p(a≤X≤b)={b-a}/{M-m}$
Il est alors clair que Y est la loi uniforme sur [0;10] - On note que $S=0,375 X^2$ si et seulement si $X=√{{S}/{0,375}}$
Donc, si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0≤a$<$b≤24$,
comme ci-dessus, on obtient: $p(a≤S≤b)=p(√{{a}/{0,375}}≤√{{S}/{0,375}}≤√{{b}/{0,375}})=p(√{{a}/{0,375}}≤X≤√{{b}/{0,375}})={√{{b}/{0,375}}-√{{a}/{0,375}}}/{8-0}={√{b}-√{a}}/{8√{0,375}}$ -
On rappelle qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur $[m;M]$ si et seulement si, pour tous $a$ et $b$ tels que $m≤a≤b≤M$, on a: $p(a≤X≤b)={b-a}/{M-m}$
La loi de S n'est donc pas uniforme.