Dérivées, convexité
A SAVOIR: le cours sur Dérivées, convexité
Exercice 5
Dans cet exercice, toute justification graphique est autorisée.
La courbe $\C$ passe par les points A$(-2;3,5)$, B$(-1;1)$,
C$(-0,5;1,25)$, D$(0;1,5)$, E$(0,8;0)$ et F$(1,-1)$.
1. Supposons que $\C$ représente une fonction $f$ définie sur $[-2;1]$.
Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe?
Déterminer le point d'inflexion de $f$.
2. Supposons que $\C$ représente la dérivée $g'$ d'une fonction $g$ définie sur $[-2;1]$.
Sur quel intervalle $g$ est-elle convexe?
Sur quel intervalle $g$ est-elle croissante?
3. Supposons que $\C$ représente la dérivée seconde $h"$ d'une fonction $h$ définie sur $[-2;1]$.
Déterminer le point d'inflexion de $h$.
Sur quel intervalle $h$ est-elle convexe?
Corrigé
1.
$\C$ est au dessus de ses tangentes entre A et C. Elle est donc convexe sur l'intervalle $[-2;-0,5]$.
Elle est clairement concave entre C et F. Le point d'inflexion est le point C.
2. La dérivée $g'$ est croissante entre B et D. La fonction $g$ est donc convexe sur l'intervalle $[-1;0]$.
La dérivée $g'$ est positive entre A et E. La fonction $g$ est donc croissante sur l'intervalle $[-2;0,8]$.
3. La dérivée seconde $h"$ s'annule en changeant de signes en E. Donc la fonction $h$ admet le point d'abscisse $0,8$ comme point d'inflexion.
Attention! On ne connait pas l'ordonnée du point d'inflexion.
La dérivée seconde $h"$ est positive entre A et E. Donc la fonction $h$ est convexe sur l'intervalle $[-2;0,8]$.