Corrigé

• $f\,'(x)=-3x^2-1,5×2x+0=-3x^2-3x$.
  $f"(x)=-3×2x-3=-6x-3$.
  $-6x-3$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=-0,5$.
  De plus, son coefficient directeur -6 est strictement négatif.
  
  D'où le tableau de signes de $f\,''$ ci-contre.
  

  

  Par conséquent, $f$ est convexe sur $]-∞;-0,5]$ et concave sur $[-0,5;+∞[$.

• $f"$ s'annule en $-0,5$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion A en $-0,5$.
  Comme $f(-0,5)=1,25$, le point d'inflexion A a pour coordonnées $(-0,5;1,25)$.
• La tangente $t$ à $\C_f$ en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
  ici: $x_0=-0,5$, $f(x_0)=1,25$, $f\,'(x_0)=-3×(-0,5)^2-3×(-0,5)=0,75$.
  D'où l'équation: $y=1,25+0,75(x-(-0,5))$.
  Soit: $y=1,25+0,75x+0,375$.
  Soit: $y=0,75x+1,625$.
• On a vu que $f$ est concave sur $[-0,5;+∞[$. Donc elle y est en dessous de ses tangentes.
  C'est vrai en particulier en $0,6$, et pour la tangente $t$ en $-0,5$.
  Donc, pour $x=0,6$, l'ordonnée du point de $\C_f$ est inférieure à celle du point de $t$.
  Et par là: $f(0,6)≤0,75×0,6+1,625$.
• Graphique ci-contre.