Dérivées, convexité
A SAVOIR: le cours sur Dérivées, convexité
Exercice 8
Une entreprise fabrique un composant électronique sophistiqué pour l'industrie aéronautique. La capacité de production maximale est de 80 composants par semaine.
Dans tout ce qui suit, les coûts considérés le seront donc par semaine.
Le coût total de production, en euros, de $x$ composants est donné par la fonction:
$C(x)=0,5x^3-49x^2+2\,000x+2\,500$ (pour $x$ dans $[\,0\,;\,80\,]$).
- Déterminer les coûts fixes de l'entreprise.
- Calculer le coût total associé à une production de 50 composants.
-
Le coût marginal $C_m(x)$ représente le coût de production du $x+1$ ème composant. On le note $C_m(x)$.
On a donc: $C_m(x)=C(x+1)-C(x)$
Montrer que: $C_m(x)=1,5x^2-96,5x+1\,951,5$
On montrera d'abord que: $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$
puis que: $C(x+1)==0,5x^3-47,5x^2+1\,903,5x+4\,451,5$ - Calculer $C'(x)$ (fonction dérivée du coût total).
- Sur le graphique ci-dessous, on a représenté:
en bleu: une petite portion de la courbe représentative du coût total $C$
en rouge: la tangente en 50 à la courbe représentative du coût total $C$
Quelles distances sont associées à $C_m(50)$ et à $C'(50)$?
Déterminer par calcul ces 2 valeurs.
Quelle erreur, en pourcentage, commet-on si l'on approxime $C_m(50)$ par $C'(50)$Les économistes considèrent que la dérivée $C'(x)$ du coût de production est une bonne approximation du coût marginal.
Dans tout ce qui suit, on considère donc que le coût marginal est donné par la dérivée du coût total.
On a donc l'égalité: $C_m(x)=C'(x)$.
Par exemple, on considèrera que $C_m(50)=C'(50)=850$. -
Le coût moyen , noté $C_M(x)$, est le coût de production d'un article pour une production de $x$ articles.
On a donc: $C_M(x)={C(x)}/{x}$
Soit: $C_M(x)=0,5x^2-49x+2\,000+{2\,500}/{x}$ (pour $x$ dans $[\,1\,;\,80\,]$).
Montrer que la dérivée du coût moyen d'un article est: $C'_M(x)={(x-50)(x^2+x+50)}/{x^2}$ - Etudier le signe de $C'_M(x)$, puis dresser le tableau de variations de $C_M(x)$ sur $[1;80]$.
Donner le nombre $x$ de composants qu'il faut produire pour obtenir un coût moyen minimal.
Ce nombre s'appelle l'optimum technique - Vérifier que, si le coût moyen est minimal, alors il est égal au coût marginal.
-
On suppose que le revenu total pour $x$ composants produits et vendus est donné par: $R(x)=2\,000x-15x^2$
Déterminer l'expression du revenu moyen $R_M(x)$ pour $x$ composants produits et vendus. - Déterminer le revenu marginal défini par $R_m(x)=R'(x)$ .
-
Déterminer le nombre $x$ de composants qu'il faut produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
Ce nombre s'appelle l'optimum économique -
Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonctions $C_m$, $C_M$, $R_m$ et $R_M$
et placer en abscisses la valeur qui minimise le coût moyen et celle qui maximise le bénéfice.
Corrigé
-
On calcule: $C(0)=2\,500$
Les coûts fixes s'élèvent à $2\,500$ euros. - On calcule: $C(50)=42\,500$
Une production de 50 composants coûte $42\,500$ euros. - On a: $(x+1)^3=(x+1)(x+1)^2=(x+1)(x^2+2x+1)=x^3+2x^2+x+x^2+2x+1$
Soit: $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ c.q.f.d.
On a alors: $C(x+1)=0,5(x+1)^3-49(x+1)^2+2\,000(x+1)+2\,500$
Soit: $C(x+1)=0,5(x^3+3x^2+3x+1)-49(x^2+2x+1)+2\,000x+2\,000+2\,500$
Soit: $C(x+1)=0,5x^3+1,5x^2+1,5x+0,5-49x^2-98x-49+2\,000x+4\,500$
Soit: $C(x+1)=0,5x^3-47,5x^2+1\,903,5x+4\,451,5$ c.q.f.d.
Et enfin: $C_m(x)=C(x+1)-C(x)=0,5x^3-47,5x^2+1\,903,5x+4\,451,5-(0,5x^3-49x^2+2\,000x+2\,500)$.
Soit: $C_m(x)=0,5x^3-47,5x^2+1\,903,5x+4\,451,5-0,5x^3+49x^2-2\,000x-2\,500$.
Soit: $C_m(x)=1,5x^2-96,5x+1\,951,5$ c.q.f.d. - On a: $C(x)=0,5x^3-49x^2+2\,000x+2\,500$
Donc: $C'(x)=0,5×3x^2-49×2x+2\,000+0$
Soit: $C'(x)=1,5x^2-98x+2\,000$
On constate que l'expression est très proche de celle de $C_m(x)$ - On a: $C_m(50)=MC$ et $C'(50)=BC$
Les 2 valeurs sont très proches!
On calcule: $C_m(50)=876,5$
On calcule: $C'(50)=850$
On calcule alors: ${C_m(50)-C'(50)}/{C_m(50)}≈3\%$
L'erreur est d'environ $3\%$
- On a: $C_M(x)=0,5x^2-49x+2\,000+{2\,500}/{x}$
Donc: $C'_M(x)=0,5×2x-49+0-{2\,500}/{x^2}=x-49-{2\,500}/{x^2}$
Soit: $C'_M(x)={x^3-49x^2-2\,500}/{x^2}$
Or: ${(x-50)(x^2+x+50)}/{x^2}={x^3+x^2+50x-50x^2-50x-2\,500}/{x^2}={x^3-49x^2-2\,500}/{x^2}$
Donc: $C'_M(x)={(x-50)(x^2+x+50)}/{x^2}$ c.q.f.d. - $x^2$ est strictement positif sur $[\,1\,;\,80\,]$ (carré non nul).
$x^2+x+50$ est un trinôme dont le discriminant ($Δ=-199$) est strictement négatif, donc le trinôme est du signe de son coefficient dominant (ici 1), et donc le trinôme est strictement positif.
Par conséquent, $C'_M(x)$ est du signe de la fonction affine $x-50$, de coefficient 1 strictement positif, et qui s'annule en 50.
D'où le tableau suivant.
Le coût moyen est minimal pour $x=50$. L'optimum technique correspond à une production de 50 composants. - Et il vaut: $C_M(50)=850$. Or: $C_m(50)=C'(50)=850$.
Donc, si le coût moyen est minimal, alors il est bien égal au coût marginal. -
On a: $R(x)=2\,000x-15x^2$
Or: $R_M(x)={R(c)}/{x}$
Donc: $R_M(x)=2\,000-15x$ (pour $x$ composants produits et vendus). - On a: $R_m(x)=R'(x)=2\,000-30x$ .
- Le bénéfice est: $B(x)=R(x)-C(x)=2\,000x-15x^2-(0,5x^3-49x^2+2\,000x+2\,500)=-0,5x^3+34x^2-2\,500$
$B'(x)=-1,5x^2+68x=x(-1,5x+68)$
On a là un produit de 2 fonctions affines.
On note que $-1,5x+68$ s'annule pour $x={68}/{1,5}≈45,3$
D'où le tableau suivant.
D'après le tableau de variation de $B$, le maximum de $B$ est atteint pour $x≈45,3$.
On calcule alors: $B(45)=20\,787,5$ et $B(46)=20\,776$.
Donc, il faut produire et vendre 45 composants pour obtenir un bénéfice maximal.
L'optimum économique correspond à une production de 45 composants. -
Voici les courbes représentatives des fonctions $C_m$, $C_M$, $R_m$ et $R_M$.
La valeur qui minimise le coût moyen vaut 50 (point noir).
Avant 50, le coût marginal était inférieur au coût moyen. Tout composant produit en plus faisait donc baisser ce coût moyen. Pour 50, les 2 coûts sont égaux. Après 50, le coût marginal devient supérieur au coût moyen. Tout composant produit en plus fera donc augmenter ce coût moyen.
La valeur qui maximise $B$ vaut environ $45,3$ (point rouge).
Jusqu'à 45, le coût marginal était inférieur au revenu marginal. Tout composant produit en plus augmentait le bénéfice total. Après 46, le coût marginal devient supérieur au revenu marginal. Tout composant produit en plus sera produit à perte et fera baisser le bénéfice total.