Intégrales
A SAVOIR: le cours sur les intégrales
Exercice 5
Soit $f$ définie par $f(x)=0,5 e^{2x-3}+1$.
$f$ est représentée dans un repère orthogonal par la courbe $C$ ci-dessous.
- Pourquoi $f$ est-elle positive et continue sur $\ℝ$.
- Déterminer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0;2]$.
- Interpréter graphiquement.
Corrigé
- La fonction $f$ est dérivable, par là, elle est donc continue.
On sait que $e^{2x-3}>0$. De plus $0,5>0$. Donc $0,5 e^{2x-3}>0$.
Par conséquent: $0,5 e^{2x-3}+1>1$. Et $f$ est donc strictement positive. - $$m=1/{2-0}∫_0^2 f(t)dt=1/2∫_0^2 (0,5 e^{2x-3}+1) dx=1/2∫_0^2 (1/4 2 e^{2x-3}+1) dx$$ .
Soit: $$m=1/2[1/4 e^{2x-3}+x]_0^2=1/2((1/4 e^{2×2-3}+2)-(1/4 e^{2×0-3}+0)=1/2(1/4 e+2-1/4 e^{-3})≈1,33$$ .
3. La fonction $f$ étant continue et positive sur $[1;3]$, $$∫_{1}^3 f(t)dt$$
est l'aire située entre $C$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.
Cette aire est la même que celle du rectangle de côtés $m$ et $2-0=2$.