Limites de fonctions
A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions
Exercice 2
- Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+x+{19}/{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$
On cherche ensuite: $\lim↙{x→-∞}f(x)$
On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors le terme "dominant" de la somme $x^2+x$.
On obtient donc: $x^2+x=x^2(1+{1}/{x})$
Déterminer: $\lim↙{x→-∞}f(x)$. - Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={9}/{x^2+7}+5$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
En déduire une éventuelle asymptote de la courbe $\C_f$. - Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x^3+{1}/{x}+3)√{x}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
Corrigé
- $f(x)=x^2+x+{19}/{x}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}19=19$ et $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}{19}/{x}=0$ (limite d'un quotient).
Et comme $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x=+∞$,
on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).
On a: $x^2+x=x^2(1+{1}/{x})$
Or: $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$, et $\lim↙{x→-∞}1+{1}/{x}=1+0=1$.
Donc $\lim↙{x→-∞}x^2+x=+∞$ (limite d'un produit).
Par ailleurs, comme $\lim↙{x→-∞}19=19$ et $\lim↙{x→-∞}x=-∞$, on a: $\lim↙{x→-∞}{19}/{x}=0$ (limite d'un quotient).
Donc $\lim↙{x→-∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme). - $f(x)={9}/{x^2+7}+5$.
Comme $\lim↙{x→+∞}7=7$ et $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}x^+7=+∞$ (limite d'une somme).
Et comme $\lim↙{x→+∞}9=9$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}{9}/{x^2+7}=0$ (limite d'un quotient).
Et comme $\lim↙{x→+∞}5=5$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=0+5=5$ (limite d'une somme).
Donc la droite horizontale d'équation $y=5$ est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$. - $f(x)=(x^3+{1}/{x}+3)√{x}$
On a: $\lim↙{x→+∞}x^3=+∞$, $\lim↙{x→+∞}{1}/{x}=0$, et $\lim↙{x→+∞}3=3$
Donc: $\lim↙{x→+∞}x^3+{1}/{x}+3=+∞$.
Or: $\lim↙{x→+∞}√{x}=+∞$.
Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'un produit).