Fonction logarithme népérien

Exercice 8

Les travaux de Neper. Le passage du discret au continu.
Voici les idées ayant permis à Neper de construire sa table de logarithmes. Evidemment, tout qui suit est simplifié et utilise les notations mathématiques modernes.

Partie A    Le discret
On considère deux droites $d$ et $d'$ et deux nombres strictement positifs $r$ et $q$.
Sur la droite $d$, on a placé un point $A_0$, puis une infinité de points $A_i$ selon le dessin ci-dessous.
Pour tout entier $n$: $A_nA_{n+1}=r$.
Sur la droite $d'$, on a placé deux points distincts $G_0$ et F tels que $G_0F=10^7$, puis une infinité de points $G_n$ selon le dessin ci-dessous.
Pour tout entier $n$: ${G_{n+1}F}/{G_nF}=q$.

1. On pose $a_n=A_0A_n$ pour tout naturel $n$.  Ainsi: $a_0=0$.
Donner l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$. Quelle est la nature de $(a_n)$?
En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ et de $r$.

2. On pose $g_n=G_nF$ pour tout naturel $n$.  Ainsi: $g_0=10^7$.
Donner l'expression de $g_{n+1}$ en fonction de $g_n$. Quelle est la nature de $(g_n)$?
En déduire l'expression de $g_{n}$ en fonction de $n$ et de $q$.

3. On pose: $a_n=f(g_n)$ pour tout naturel $n$.
Vérifier que: $f(10^7)=0$ et $f(10^7q)=r$.
Vérifier que, pour tout naturel $n$, $f(10^7q^n)=n×f(10^7q)$

Partie B    Le continu
Neper veut alors déterminer $f(x)$ pour n'importe quel réel $x$ strictement positif.
A l'époque, le concept de droite des réels n'existait pas. La notion de continuité restait confuse, mais les contemporains de Neper considéraient intuitivement que l'espace et le temps étaient continus. Neper va alors considérer le modèle suivant.

Un mobile $M_a$ est placé en $A_0$ sur $d$.
Puis, à l'instant 0, il démarre et part vers $A_1$ selon un mouvement uniforme à la vitesse V.
Un mobile $M_g$ est placé en $G_0$ sur $d'$.
Puis, à l'instant 0, il démarre en direction de F à la vitesse V et se déplace selon un mouvement décéléré tel que sa vitesse soit proportionnelle à la distance $M_gF$ qui le sépare de F.
On appelle $x(t)$ la distance parcourue par $M_a$ au bout de $t$ secondes. Donc: $x(t)=A_0M_a$
On appelle $y(t)$ la distance parcourue par $M_g$ au bout de $t$ secondes. Donc: $ y(t)=G_0M_g$
La fonction logarithme proposée par Neper sera alors la fonction donnant $A_0M_a$ en fonction de $M_gF$.
Ainsi, si on la note $Nep$, on aura: $Nep(M_gF)=A_0M_a$.
Nous allons trouver son expression par des moyens que Neper n'avait pas.
On va chercher une formule donnant $y$ en fonction de $t$, puis une formule donnant $y$ en fonction de $x$, et enfin une formule donnant $A_0M_a$ en fonction de $M_gF$.

1. On a vu que la vitesse $y'(t)$ de $M_g$ est proportionnelle à la distance $M_gF$ qui le sépare de F. Donc il existe une constante $C$ telle que: $y'(t)=C ×M_gF $.
De plus, on sait que $G_0F=10^7$.
Montrer que: $y'(t)=-C y(t)+10^7 C$.

2. Soit C est une constante fixée.
On considère l'équation différentielle (E): $y(t)'=-C y(t)+10^7 C$ pour $t$ dans $[0;+\∞[$.
Montrer que (E) admet pour solutions les fonctions $f_k$ définies par : $f_k(t) = k.e^{-Ct}+10^7$ (où $k$ est un réel)

3. On sait que le mobile $M_g$ est en $G_0$ à l'instant $t=0$.
En déduire que la fonction $y(t)$ cherchée vérifie: $y(t)=10^7-10^7e^{-Ct}$ (pour tout réel $t$ positif)

4. On sait que $y'(0)=V$. Vérifier que $V=10^7C$.
Puis expliquer pourquoi on a: $x(t)=10^7Ct$ (pour tout réel $t$ positif)

5. A l'aide des résultats obtenus aux deux questions précédentes, expliquer pourquoi on a:
$10^7-y(x)=10^7e^{-{x}/{10^7}}$ (pour tout réel $x$ positif)

6. L'égalité ci-dessus est équivalente à: $M_gF=10^7e^{-{A_0M_a}/{10^7}}$
Neper définit alors sa fonction logarithme, que l'on notera ici $Nep$, en posant: $Nep(M_gF)=A_0M_a$.
Expliquer pourquoi on a: $Nep(z)=10^7\ln({{10^7}/{z})$ (pour tout réel $z$ strictement positif)

7. On remarque que la fonction $Nep$ ne dépend ni de la longueur $r$, ni de $q$, ni de la vitesse $V$.
Or, $r$ et $q$ doivent être liés, sinon, quand le mobile $M_a$ atteint par exemple $A_1\,$ , il est fort peu probable que le mobile $M_g$ atteigne simultanément $G_1$.
Montrer que, pour obtenir $A_0A_1=Nep(G_1F)$, il faut que $r=-10^7\ln q$.
Montrer alors que: $A_0A_n=Nep(G_nF)$ pour tout naturel $n$.
La fonction de Neper coïncide alors parfaitement avec la fonction $f$ lorsque la distance $y=M_gF$ est du type $G_iF$.
On notera que le choix de la vitesse $V$ n'a aucune importance...

Remarque.
Bien que le terme "fonction" apparaisse de nombreuses fois dans cet exercice, il faut bien comprendre que la notion de fonction n'existait pas à l'époque de Neper. Par contre, ses logarithmes serviront de prototype dans le développement de ce concept général (défini par EULER en 1748).
De même, la notation décimale n’était pas encore généralisée, et là encore les logarithmes contribueront à son adoption générale.
Solution...

Corrigé

Partie A    Le discret

1. On pose $a_n=A_0A_n$ pour tout naturel $n$.
Or, pour tout entier $n$, on a: $A_nA_{n+1}=r$,    soit: $A_{n+1}A_0-A_nA_0=r$.
Donc, pour tout naturel $n$, on a: $a_{n+1}=a_n+r$.
Donc la suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $r$.
Donc on a: $a_{n}=a_0+nr=0+nr$
Soit: $a_n=nr$ pour tout naturel $n$.

2. On pose $g_n=G_nF$ pour tout naturel $n$.
Or, pour tout entier $n$, on a: ${G_{n+1}F}/{G_nF}=q$.
Pour tout naturel $n$, on a: $g_{n+1}=q×g_n$.
Donc la suite $(g_n)$ est géométrique de raison $q$.
Donc on a: $g_{n}=g_0q^n$
Soit: $g_n=10^7q^n$ pour tout naturel $n$.

3. On pose: $a_n=f(g_n)$ pour tout naturel $n$.
On a: $f(10^7)=f(g_0)=a_0=0$   c.q.f.d.
Et on a: $f(10^7q)=f(g_1)=a_1=r$   c.q.f.d.
Enfin, pour tout naturel $n$, on a: $f(10^7q^n)=f(g_n)=a_n=nr=n×f(10^7q)$   c.q.f.d.

Partie B    Le continu

On a: $x(t)=A_0M_a$    et: $ y(t)=G_0M_g$
1. On a: $y'(t)=C ×M_gF $.
Or: $M_gF=G_0F-G_0M_g=10^7-y(t)$.
Donc on obtient: $y'(t)=C ×(10^7-y(t)) $.
Soit: $y'(t)=-C y(t)+10^7 C$    c.q.f.d.

2. Résolution de l'équation différentielle (E) en 3 étapes.

• On a: (E) $⇔$ $y'(t)=-C y(t)+10^7 C$
  L'équation différentielle (E) sur $[0;+\∞[$ admet pour solution particulière la fonction $g$ définie par : $g(t) ={10^7 C}/{-C}=$$-10^7$.
• On sait que: $g'(t)=-Cg(t)+10^7$
  Et $f$ est solution de (E) si et seulement si $f'(t)=-Cf(t)+10^7$
  Donc, par différence: $f$ est solution de (E) si et seulement $f'(t)-g'(t)=-Cf(t)+10^7-(-Cg(t))-10^7)$
  si et seulement $f'(t)-g'(t)=-C(f(t)-g(t))$
  si et seulement si $f – g$ solution de (E'): $y' =-Cy $.


• Or les solutions de $y' = -Cy $ sont les fonctions $ke^{-Ct}$ (où k est un réel quelconque).
  Par conséquent: $f(t)-g(t)=ke^{-Ct}$ (où k est un réel quelconque)
  Et par là: $f(t)=g(t)+ke^{-Ct}$
  Donc l'équation différentielle (E) sur $[0;+\∞[$ admet pour solutions les fonctions $f_k$ définies par : $f_k(t) = k.e^{-Ct}+10^7$ (où $k$ est un réel), et ce sont les seules solutions.

3. On a :$f_k(t) = k.e^{-Ct}+10^7$
Or on doit avoir: $f_k(0)=0$  (car le mobile $M_g$ est en $G_0$ à l'instant $t=0$).
Donc: $ k.e^{0}+10^7=0$, et par là: $k=-10^7$.
Donc la fonction $y(t)$ cherchée vérifie: $y(t)=10^7-10^7e^{-Ct}$ (pour tout réel $t$ positif)    c.q.f.d.

4. On a: $y'(0)=-C y(0)+10^7 C$ (d'après (E)).
Soit: $y'(0)=10^7C$ (car $y(0)=0$)
Or on sait que: $y'(0)=V$.
Par conséquent: $V=10^7C$   c.q.f.d.
Or, comme le mobile $M_a$ se déplace vers $A_1$ selon un mouvement uniforme à la vitesse V, on a: $x(t)=Vt$.
Donc finalement, on en déduit que: $x(t)=10^7Ct$ (pour tout réel $t$ positif)

5. Comme $x(t)=10^7Ct$, on a: $Ct={x(t)}/{10^7}$.
Or: $y(t)=10^7-10^7e^{-Ct}$.
Donc, en remplaçant $Ct$ par ${x(t)}/{10^7}$, on obtient: $10^7-y(x)=10^7e^{-{x}/{10^7}}$ (pour tout réel $x$ positif)

6. On a:   $M_gF=10^7e^{-{A_0M_a}/{10^7}}$

Donc:   ${M_gF}/{10^7}=e^{-{A_0M_a}/{10^7}}$
Donc:   $\ln{M_gF}/{10^7}=\ln (e^{-{A_0M_a}/{10^7}})$
Soit:   $\ln{M_gF}/{10^7}=-{A_0M_a}/{10^7}$

Et donc:   $-10^7\ln{M_gF}/{10^7}=A_0M_a$
Et par là:   $10^7\ln({M_gF}/{10^7})^{-1}=A_0M_a$
Soit:   $A_0M_a=10^7\ln({10^7}/{M_gF})$
Et comme: $Nep(M_gF)=A_0M_a$, on en déduit que:
$Nep(z)=10^7\ln({{10^7}/{z})$ (pour tout réel $z$ strictement positif)

7. On a: $A_0A_1=Nep(G_1F)$ $ ⇔$ $r=Nep(10^7q$ $ ⇔$ $r=10^7\ln({{10^7}/{10^7q})$ $ ⇔$ $r=10^7\ln q^{-1}=-10^7\ln q$
Donc, pour obtenir $A_0A_1=Nep(G_1F)$, il faut que $r=-10^7\ln q$.
On calcule alors: $Nep(G_nF)=10^7\ln({{10^7}/{G_nF})=10^7\ln({{10^7}/{10^7q^n})=10^7\ln(q^{-n}})=-n10^7\ln q$
Soit: $Nep(G_nF)=nr$
Soit: $Nep(G_nF)=A_0A_n$ (pour tout naturel $n$)   c.q.f.d.