Primitives et équations différentielles
A SAVOIR: le cours sur les primitives
Exercice 6
On considère l'équation différentielle (E): $y' =y+1$ sur ℝ.
- Proposer une fonction $g$ définie sur ℝ qui est solution de l'équation (E).
- Montrer que $f$ est solution de (E) équivaut à $f – g$ solution de (E'): $y'=y $.
- En déduire les solutions de (E).
Corrigé
-
Il est évident que la fonction $g(x)=-1$ est solution de (E).
Pour les sceptiques: $g(x)+1=-1+1=0=g'(x)$ -
$f$ est solution de (E) si et seulement si $f'(x)=f(x)+1$
si et seulement si $f'(x)-f(x)=1$
Or, comme $g$ est solution de (E), on a: $g'(x)-g(x)=1$.
Donc $f$ est solution de (E) si et seulement si $f'(x)-f(x)=g'(x)-g(x)$
si et seulement si $f'(x)-g'(x)=f(x)-g(x)$
si et seulement si $f – g$ solution de (E'): $y' = y $. - Or les solutions de $y' = y $ sont les fonctions $ke^{x}$ (où k est un réel quelconque).
Par conséquent: $f(x)-g(x)=ke^{x}$ (où k est un réel quelconque)
Et par là: $f(x)=g(x)+ke^{x}$
Donc les fonctions $f(x)= -1+ke^{x}$ (où k est un réel quelconque) sont les solutions de (E).