Statistique à deux variables quantitatives
A SAVOIR: le cours sur Statistique à deux variables quantitatives
Exercice 1
Le directeur de la communication d'une entreprise se demande si ses campagnes de publicité sont efficaces.
Il récupère quelques données comptables sur 12 mois. L'étude commence au mois de janvier 2016.
Les dépenses publicitaires et le chiffre d'affaire mensuel de son entreprise sont résumés dans le tableau ci-dessous.
Pour $i$ allant de 1 à 12, $x_i$ est le montant en milliers d'euros du budget publicité pour le mois de rang $i$, et $y_i$ est le montant en millions d'euros du chiffre d'affaires pour le mois de rang $i$.
Le nuage de points correspondant à la série des $(x_i;y_i)$ pour $i$ allant de 1 à 12 est le suivant.
- La forme du nuage suggère-t-elle qu'un ajustement est possible?
Le budget publicité sur un mois a-t-il une influence sur le chiffre d'affaire du même mois? - Le directeur de la communication pose: $z_i=y_{i+1}$ pour $i$ allant de 1 à 11.
Il décide d'étudier la série des $(x_i;z_i)$.
Compléter le tableau suivant.
- Représenter le nuage de points de la série des $(x_i;z_i)$.
Déterminer les coordonnées du point moyen G (arrondies au centième), puis le placer sur le graphique.
- Déterminer à l'aide de votre calculatrice une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ (les coefficients seront arrondis à 0,01 près).
-
Tracer la droite sur le graphique.
- Déterminer à l'aide de votre calculatrice le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double.
L'ajustement est-il satisfaisant. Pourquoi? - Estimer par un calcul le chiffre d'affaire de l'entreprise (arrondi à 0,1 million près) pour le mois de janvier 2017.
Corrigé
- La forme du nuage, très nébuleuse, laisse penser qu'un ajustement n'est pas possible.
A priori, le budget publicité sur un mois n'a pas d'influence sur le chiffre d'affaire du même mois. - On pose: $z_i=y_{i+1}$ pour $i$ allant de 1 à 19.
Ainsi, $z_1=y_2=1,8$ et $z_{11}=y_{12}=6,3$.
D'où le tableau complété.
- On obtient: $x_G={1,2+2,7+...+6,6+7,2}/{11}≈4,62$ et $y_G={1,8+3,1+...+6,6+6,3}/{11}≈4,79$
Voici le nuage de points de la série des $(x_i;z_i)$ ainsi que le point G.
- A l'aide de la calculatrice, on trouve que la droite de régression de $z$ en $x$ a pour équation: $z=ax+b$, avec $a≈0,77$ et $b≈1,24$
-
La droite est tracée en vert sur le graphique. Elle passe par G et elle a pour ordonnée à l'origine $b≈1,24$
- A l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈0,989$.
C'est quasi parfait! On a largement $|r|>0,9$. L'ajustement est donc très satisfaisant. - Le mois de décembre 2016 a pour budget publicitaire $x=8,5$ (milliers d'euros).
On calcule: $0,77×8,5+1,24≈7,79$
On peut espérer un chiffre d'affaire de l'entreprise d'environ 7,8 millions d'euros pour janvier 2017.
Evidemment, cela suppose que le modèle reste valide à ce moment là.