Statistique à deux variables quantitatives
A SAVOIR: le cours sur Statistique à deux variables quantitatives
Exercice 4
La série suivante donne l'écart de température de la planète Terre (océans et terres) par rapport à une température de référence pour certaines années.
Les écarts indiqués sont lissés sur 5 années pour mieux percevoir la tendance de fond.
Pour $i$ allant de 1 à 10, $y_i$ donne l'écart de température (en degré Celsius) pour l'année $x_i$.
Le nuage de points correspondant à la série des $(x_i;y_i)$ pour $i$ allant de 1 à 10 est le suivant.
La droite de régression de $y$ en $x$ est tracée en vert.
- Déterminer à l'aide de votre calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ (les coefficients seront arrondis en donnant 4 chiffres significatifs).
- Déterminer à l'aide de votre calculatrice le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double (arrondi à 0,01 près).
L'ajustement est-il satisfaisant. Pourquoi?
Y a-t-il une corrélation affine entre les écarts et les années. - En supposant que le modèle précédent convienne, estimer l'écart de température pour 2019.
- Pour information, l'écart lissé de température pour 2019 est en fait de $0,91$. Le modèle précédent semble optimiste... Le réchauffement parait s'accélerer.
Voici donc une série similaire à la précédente sur les années 2013 à 2018.
La droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation: $y=ax+b$, avec $a≈0,04629$ et $b≈-92,54$.
Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈0,97$.
Ce modèle semble-t-il meilleur que le premier pour estimer les écarts de température dans les années à venir? - Les deux modèles précédent laissent penser que le réchauffement climatique est indéniable, tout au moins sur les dernières années et il semble même s'accélérer.
Pour information, des données sur une centaine d'année confirment les résultats ci-dessus.
Voyons s'il existe une corrélation entre réchauffement et quantité de $CO^2$ dans l'atmosphère.
Voici donc une série similaire à la précédente sur les années 2013 à 2018.
La série des $z_i$ donne des indices proportionnels à la quantité de $CO^2$ dans l'atmosphère.
Conclure (argumenter évidemment).
Corrigé
- A l'aide de la calculatrice, on trouve que la droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation: $y=ax+b$, avec $a≈0,01594$ et $b≈-31,41$.
- A l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈0,99$.
C'est très correct! On a largement $|r|>0,9$. L'ajustement est donc très satisfaisant.
Il y a effectivement une corrélation affine entre les écarts de températures et les années. - On calcule: $0,01594×2019-31,41≈0,77$
On peut donc estimer que l'écart de température (lissé sur 5 années) serait de $0,77$ degré en 2019.
- On a: $r≈0,97$. C'est très correct! On a largement $|r|>0,9$.
L'ajustement est donc également très satisfaisant.
On calcule: $0,04629×2019-92,54≈0,92$
Ce modèle donne un écart de température (lissé sur 5 années) pour 2019 égal à $0,92$ degré, ce qui est très proche de la réalité.
Le résultat est meilleur qu'avec le premier modèle, mais la tendance dégagée ne repose que sur les dernières années. On peut donc penser que ce dernier modèle sera meilleur que le premier pour une prévision à court terme, mais pas forcément pour une prévision à plus long terme. - On calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double $(y_i;z_i)$.
On a: $r≈0,99$. On a largement $|r|>0,9$. L'ajustement affine est donc également très satisfaisant.
La corrélation mathématique entre réchauffement et quantité de $CO^2$ dans l'atmosphère est vérifiée, tout au moins sur les dernières années.
Il reste à l'interpréter physiquement. Pour ce faire, on peut tenter de répondre aux questions suivantes.
- La corrélation mathématique est-elle le fruit du hasard ?
- Sinon, température et $CO^2$ sont-ils liés par une "causalité commune" (voir un exemple dans l'exercice 3)?
- Ou y a-t-il un lien direct de cause à effet entre températures et quantité de $CO^2$?
- Et si effectivement ce lien existe, est-ce la hausse des températures qui provoque la hausse du $CO^2$, ou l'inverse?