Statistique à deux variables quantitatives
A SAVOIR: le cours sur Statistique à deux variables quantitatives
Exercice 5
Le ministère du travail cherche à savoir si les salariés du privé sont satisfaits de leur travail et surtout à comprendre les raisons pour lesquelles ils le sont ou non.
Une enquête est menée par un statisticien auprès d'un échantillon de salariés et elle donne les résultats suivants.
Pour $i$ allant de 1 à 30, $x_i$ est un indice (en rouge) proportionnel au niveau de responsabilité du salarié $i$, $y_i$ est un indice (en bleu) proportionnel au niveau de satisfaction au travail du salarié $i$.
Le nuage de points correspondant à la série des $(x_i;y_i)$ pour $i$ allant de 1 à 30 est le suivant.
Il semblerait donc que, plus les responsabilités augmentent, plus la satisfaction au travail augmente...
- Le statisticien a mélangé ses papiers. Il sait que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double et la droite de régression de $y$ en $x$ d'équation $y=ax+b$ vérifient:
Soit: $a≈4,32$ et $b≈3,27$ et $r≈-0,847$
Soit: $a≈4,29$ et $b≈3,35$ et $r≈0,84$
Soit: $a≈-3,43$ et $b≈37,51$ et $r≈0,39$
(les coefficients sont arrondis à 0,01 près).
Quelle est la bonne réponse? -
En sciences humaines, on considère que la corrélation est forte si $|r|>0,5$.
Y a-t-il une corrélation affine entre les niveaux de responsabilité et les niveaux de satisfaction?
- Tout laisse donc à penser qu'effectivement, plus les responsabilités augmentent, plus la satisfaction au travail augmente...
En supposant que la corrélation ne soit pas due au hasard, le ministère du travail se demande s'il y a vraiment un lien de cause à effet entre les 2 variables, où s'il existe une "variable de confusion" (voir exercice 3).
Le ministère soupçonne que la variable "cachée" (dont dépendraient les 2 autres) serait potentiellement le salaire.
Or, l'enquête précédente a permis aussi de collecter les rémunérations des salariés.
Les salariés sont alors répartis en 3 groupes suivants leurs rémunérations (annuelles en milliers d'euros), et on obtient les 3 séries qui suivent.
Dans chacune des séries, les salaires sont proches. Pour obtenir ce résultat, 3 salariés (en jaune) ne font partie d'aucune des 3 séries.
Les nuages de points correspondant à chacune des 3 séries sont donnés ci-dessous.
On y représente toujours l'indice de satisfaction en fonction de l'indice de responsablilité.
De quel signe seront les coefficients de corrélation linéaire des ces 3 séries?
Déterminer à l'aide de votre calculatrice les coefficients de corrélation linéaire $r_1$, $r_2$ et $r_3$ de chacune des 3 séries (arrondis à 0,01 près). - Conclure.
- Pour confirmer votre conclusion, déterminer à l'aide de votre calculatrice le coefficient de corrélation linéaire $r_{s}$ de la série double (arrondi à 0,01 près) donnant l'indice de satisfaction en fonction du salaire.
Corrigé
- Graphiquement, on constate que le nuage de point peut être ajusté par une droite croissante. Donc nécessairement: $a>0$ et $r>0$.
Donc, par élimination, la bonne réponse est:
$a≈4,29$ et $b≈3,35$ et $r≈0,84$
- Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈0,84$.
C'est très correct! On a largement $|r|>0,5$. L'ajustement est donc très satisfaisant.
Il y a effectivement une corrélation affine entre les niveaux de responsabilité et les niveaux de satisfaction. - La forme des nuages de points laise penser qu'on peut les ajuster par des droites, et que ces droites seront toutes "décroissantes", c'est à dire de coefficients directeurs négatifs.
Et par là, les coefficients de corrélation linéaire des ces 3 séries devraient être négatifs.
A l'aide de la calculatrice, on obtient: $r_1≈-0,72$, $r_2≈-0,54$ et $r_3≈-0,79$.
Les coefficients sont bien négatifs. -
On constate que: $|r_i|>0,5$ pour $i$ allant de 1 à 3.
Les 3 ajustements sont donc satisfaisants (voire très satisfaisants pour 2 d'entre eux).
Il y a, à nouveau, une corrélation affine entre les niveaux de responsabilité et les niveaux de satisfaction.
Le problème, c'est que, cette fois-ci, la corrélation est négative!
A salaire proche, plus les responsabilités augmentent, plus la satisfaction au travail diminue!
Finalement, il semble que la satisfaction au travail augmente avec le salaire, mais que les responsabilités la font diminuer. - A l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r_{s}$ de la série double donnant l'indice de satisfaction en fonction du salaire vérifie:
$r_{s}≈0,98$.
C'est très proche de 1. La corrélation est remarquable.
Conclusion: la satisfaction au travail augmente surtout grâce au salaire, et ce malgré la hausse des responsabilités qui y est liée.
Pour information, voici le nuage de points donnant l'indice de satisfaction en fonction du salaire.
